第二部分 微专题七 恒成立与存在性问题-新高考复习指南·数学

＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（函数篇） ４３　 !"#* 恒成立与存在性问题 一、真题比较 （一）真题再现 １．（２０１４·江苏卷第１９题）已知函数犳（狓）＝ｅ 狓＋ｅ－狓，其中ｅ是自然对数的底数． （１）证明：犳（狓）是犚上的偶函数； （２）若关于狓的不等式犿犳（狓）≤ｅ －狓＋犿－１在（０，＋∞）上恒成立，求实数犿 的取值 范围．　 【解】　（１）因为对任意狓∈犚，都有犳（－狓）＝ｅ －狓＋ｅ－ （－狓）＝ｅ－狓＋ｅ狓＝犳（狓），所以犳（狓） 是犚上的偶函数． （２）由条件知犿（ｅ狓＋ｅ－狓－１）≤ｅ －狓－１在（０，＋∞）上恒成立． 令狋＝ｅ狓（狓＞０），则狋＞１，所以犿≤－ 狋－１ 狋２－狋＋１ ＝－ １ 狋－１＋ １ 狋－１ ＋１ 对任意狋＞１恒成立． 因为狋－１＋ １ 狋－１ ＋１≥２ （狋－１）· １ 狋槡 －１＋１＝３，所以－ １ 狋－１＋ １ 狋－１ ＋１ ≥－ １ ３ ，当且仅 当狋＝２，即狓＝ｌｎ２时等号成立． 因此，实数犿的取值范围是 －∞，－（ ］１３ ． ２．（２０１５·全国Ⅱ卷理科第２１题）设函数犳（狓）＝ｅ 犿狓＋狓２－犿狓． （１）证明：犳（狓）在（－∞，０）内单调递减，在（０，＋∞）内单调递增； （２）若对于任意狓１，狓２∈［－１，１］，都有｜犳（狓１）－犳（狓２）｜≤ｅ－１，求犿的取值范围． 【解】　（１）犳′（狓）＝犿（ｅ 犿狓－１）＋２狓． 若犿≥０，则当狓∈（－∞，０）时，ｅ 犿狓－１≤０，犳′（狓）＜０；当狓∈（０，＋∞）时，ｅ 犿狓－１≥０， 犳′（狓）＞０． 若犿＜０，则当狓∈（－∞，０）时，ｅ 犿狓－１＞０，犳′（狓）＜０；当狓∈（０，＋∞）时，ｅ 犿狓－１＜０， 犳′（狓）＞０． 新高考复习指南·数学  ４４　 所以，犳（狓）在（－∞，０）内单调递减，在（０，＋∞）内单调递增． （２）由（１）知，对任意的犿，犳（狓）在［－１，０］上单调递减，在［０，１］上单调递增，故犳（狓） 在狓＝０处取得最小值．所以，对于任意狓１，狓２∈［－１，１］，｜犳（狓１）－犳（狓２）｜≤ｅ－１的充要条 件是 犳（１）－犳（０）≤ｅ－１， 犳（－１）－犳（０）≤ｅ－１ 烅 烄 烆 ， 即 ｅ犿－犿≤ｅ－１， ｅ－犿＋犿≤ 烅 烄 烆 ｅ－１ ①． 设函数犵（狋）＝ｅ 狋－狋－ｅ＋１，则犵′（狋）＝ｅ 狋－１．当狋＜０时，犵′（狋）＜０；当狋＞０时，犵′（狋）＞ ０．故犵（狋）在（－∞，０）内单调递减，在（０，＋∞）内单调递增．又犵（１）＝０，犵（－１）＝ｅ －１＋２－ ｅ＜０，故当狋∈［－１，１］时，犵（狋）≤０．当犿∈［－１，１］时，犵（犿）≤０，犵（－犿）≤０，即①式成立． 当犿＞１时，由犵（狋）的单调性知犵（犿）＞０，即ｅ 犿－犿＞ｅ－１；当犿＜－１时，犵（－犿）＞０，即 ｅ－犿＋犿＞ｅ－１． 综上，犿的取值范围是［－１，１］． （二）比较评析 试卷类别 江苏卷 全国卷 共同点 恒成立问题中求参数的值或取值范围 不同点 考查的频率 偶有考查 近３年考得少 考查的难度 中等偏易 中等难度 考查的形式 在解答题中直接考查恒成立问题 转化为恒成立问题求解 核心素养 逻辑推理、数学运算 逻辑推理 点评 平时模拟题中恒成立与存在性问题 很多，高考中出现的频率不是很高 直接考查恒成立的问题很少 二、例题导引 例１　对任意狓∈犚，不等式３狓 ２－２犪狓≥｜狓｜－ ３ ４ 恒成立，则实数犪的范围是　　　　． 【路径探析】　 在本题中关于犪，狓的项仅有２犪狓一项，便于进行参变分离，但由于狓∈ 犚，则分离参数时要对狓的符号进行讨论，并且利用对狓的符号的讨论也可把绝对值去掉， 进而得到犪的范围． 【详细解析】　３狓 ２－２犪狓≥｜狓｜－ ３ ４ ２犪狓≤３狓 ２－｜狓｜＋ ３ ４ ． 当狓＞０时，２犪≤ ３狓－１＋ ３ ４（ ）狓 ｍｉｎ，而３狓－１＋ ３ ４狓 ＝３狓＋ ３ ４狓 －１≥２ ３狓· ３ ４槡 狓－１＝２，所 以２犪≤２，得犪≤１； 当狓＝０时，不等式恒成立； 当狓＜０时，２犪≥ ３狓＋１＋ ３ ４（ ）狓 ｍａｘ，而３狓＋１＋ ３ ４狓 ＝１－ （－３狓）＋ － ３ ４（ ）［ ］狓 ≤－２，所以 ＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（函数篇） ４５　 ２犪≥－２，得犪≥－１． 综上所述，－１≤犪≤１． 【反思评析】　（１）不等式中含有绝对值时，可对绝对值内部的符号进行分类讨论，进 而去掉绝对值符号．在本题中对狓的符号进行分类讨论一举两得：一是去掉了绝对值符号， 二是参变分离时确定不等号是否变号． （２）在求关于狓的解析式的最值时，根据式子的特点巧妙使用均值不等式，替代了原 有的构造函数通过导数求最值的方法，简化了运算． （３）注意最后确定犪的范围时是三部分