第二部分 微专题六 指数、对数函数的综合应用-新高考复习指南·数学

＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（函数篇） ３７　 !"#) 指数、对数函数的综合应用 一、真题比较 （一）真题再现 １．（２０１６·江苏卷第１９（１）题）已知函数犳（狓）＝犪 狓＋犫狓（犪＞０，犫＞０，犪≠１，犫≠１）． 设犪＝２，犫＝ １ ２ ． ① 求方程犳（狓）＝２的根； ② 若对于任意狓∈犚，不等式犳（２狓）≥犿犳（狓）－６恒成立，求实数犿的最大值． 【解】　因为犪＝２，犫＝ １ ２ ，所以犳（狓）＝２ 狓＋２－狓． ① 方程犳（狓）＝２，即２ 狓＋２－狓＝２，亦即（２狓）２－２×２狓＋１＝０，所以（２狓－１）２＝０，于是 ２狓＝１，解得狓＝０． ② 由条件知犳（２狓）＝２ ２狓＋２－２狓＝（２狓＋２－狓）２－２＝（犳（狓）） ２－２． 因为犳（２狓）≥犿犳（狓）－６对于任意狓∈犚恒成立，且犳（狓）＞０，所以犿≤ （犳（狓）） ２＋４ 犳（狓） 对 于任意狓∈犚恒成立． 而 （犳（狓）） ２＋４ 犳（狓） ＝犳（狓）＋ ４ 犳（狓） ≥２ 犳（狓）· ４ 犳（狓槡 ）＝４，且 （犳（０）） ２＋４ 犳（０） ＝４，所以犿≤４， 故实数犿的最大值为４． ２．（２０１６·全国Ⅰ卷理科第８题）若犪＞犫＞１，０＜犮＜１，则（　　）． Ａ．犪犮＜犫 犮 Ｂ．犪犫犮＜犫犪 犮 Ｃ．犪ｌｏｇ犫犮＜犫ｌｏｇ犪犮 Ｄ．ｌｏｇ犪犮＜ｌｏｇ犫犮 【解】　方法一　 由犪＞犫＞１，０＜犮＜１，知犪 犮 ＞犫 犮，故Ａ错． ∵０＜犮＜１，∴ －１＜犮－１＜０，∴狔＝狓 犮－１在（０，＋∞）上是减函数，∴犫 犮－１ ＞犪 犮－１． 又犪犫＞０，∴犪犫·犫 犮－１ ＞犪犫·犪 犮－１，即犪犫犮＞犫犪 犮，故Ｂ错． 易知狔＝ｌｏｇ犮狓是减函数，∴０＞ｌｏｇ犮犫＞ｌｏｇ犮犪，∴ｌｏｇ犫犮＜ｌｏｇ犪犮，故Ｄ错． 新高考复习指南·数学  ３８　 由ｌｏｇ犫犮＜ｌｏｇ犪犮＜０，得－ｌｏｇ犫犮＞－ｌｏｇ犪犮＞０． 又犪＞犫＞１＞０，∴ －犪ｌｏｇ犫犮＞－犫ｌｏｇ犪犮＞０，∴犪ｌｏｇ犫犮＜犫ｌｏｇ犪犮，故Ｃ正确． 方法二　用特殊值法．令犪＝３，犫＝２，犮＝ １ ２ ，得３ １ ２＞２ １ ２，选项Ａ错误；３×２ １ ２＞２×３ １ ２， 选项Ｂ错误；３ｌｏｇ２ １ ２ ＜２ｌｏｇ３２，选项Ｃ正确；ｌｏｇ３ １ ２ ＞ｌｏｇ２ １ ２ ，选项Ｄ错误．故选Ｃ． （二）比较评析 试卷类别 江苏卷 全国卷 共同点 指数、对数函数的图象与性质的应用 不同点 考查的频率 近５年考查３次 基本每年都涉及 考查的难度 以基础题和中档题形式呈现 常以选择题或填空题的形式考查函 数的性质及应用，难度偏小，属中、低 档题 考查的形式 指数函数的性质以及指数函数与不 等式的结合、对数与导数的结合 常以指数、对数函数及其图象与性质 为载体，考查指数、对数函数的定义 域、值域、单调性、奇偶性、对称性等 性质 核心素养 逻辑推理、数学运算 逻辑推理 点评 与指数、对数函数有关的综合函数的 单调性、奇偶性及与不等式等知识点 的综合，难度往往较大 以指数、对数函数为载体的复合函数 是考查的重点 二、例题导引 例１　（１）设狓，狔，狕均为正数，且２ 狓＝３狔＝５狕，则（　　）． Ａ．２狓＜３狔＜５狕 Ｂ．５狕＜２狓＜３狔 Ｃ．３狔＜５狕＜２狓 Ｄ．３狔＜２狓＜５狕 （２）已知奇函数犳（狓）在 犚上是增函数．若犪＝－犳 ｌｏｇ２（ ）１５ ，犫＝犳（ｌｏｇ２４．１），犮＝ 犳（２ ０．８），则犪，犫，犮的大小关系为（　　）． Ａ．犪＜犫＜犮 Ｂ．犫＜犪＜犮 Ｃ．犮＜犫＜犪 Ｄ．犮＜犪＜犫 【路径探析】　（１）将指数形式化简即可求出三个变量，不妨设２ 狓＝３狔＝５狕＝犿＞１． 取对数得 狓＝ｌｏｇ２犿＝ １ ｌｏｇ犿２ ， 狔＝ｌｏｇ３犿＝ １ ｌｏｇ犿３ ， 狕＝ｌｏｇ５犿＝ １ ｌｏｇ犿５ 烅 烄 烆 ， 将三者代入选项即可解答． ＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（函数篇） ３９　 【详细解析】　不妨设２ 狓＝３狔＝５狕＝犿＞１，分别可求得２狓＝ ２ ｌｏｇ犿２ ＝ １ ｌｏｇ犿２ １ ２ ，３狔＝ ３ ｌｏｇ犿３ ＝ １ ｌｏｇ犿３ １ ３ ，５狕＝ ５ ｌｏｇ犿５ ＝ １ ｌｏｇ犿５ １ ５ ，分别对分母乘以３０可得３０ｌｏｇ犿２ １ ２ ＝ｌｏｇ犿２ １５，３０ｌｏｇ犿３ １ ３ ＝ ｌｏｇ犿３ １０，３０ｌｏｇ犿５ １ ５＝ｌｏｇ犿５ ６． 故可得 犿＞１， ３１０＞２ １５ ＞５ 烅 烄 烆 ６ ｌｏｇ犿３ １０ ＞ｌｏｇ犿２ １５ ＞ｌｏｇ犿５ ６ ３狔＜２狓＜５狕，故选Ｄ． 【反思评析】　对于连等问题，常规的方法是令该连等式为同一个常数，用这个常数表 示出对应的狓，狔，狕，通过作差或作商比较大小．对数运算要记住对数运算中常见的运算法 则，尤其是