第二部分 微专题五 与切线有关的问题-新高考复习指南·数学

新高考复习指南·数学  ３２　 !"#( 与切线有关的问题 一、真题比较 （一）真题再现 １．（２０１９·江苏卷第１１题）在平面直角坐标系狓犗狔中，点犃在曲线狔＝ｌｎ狓上，且该 曲线在点犃处的切线经过点（－ｅ，－１）（ｅ为自然对数的底数），则点犃的坐标是　　　　． 【解】　设点犃（狓０，狔０），则狔０＝ｌｎ狓０． 又狔′＝ １ 狓 ，当狓＝狓０ 时，狔′＝ １ 狓０ ，曲线狔＝ｌｎ狓上点犃 处的切线为狔－狔０＝ １ 狓０ （狓－狓０）， 即狔－ｌｎ狓０＝ 狓 狓０ －１，代入点（－ｅ，－１），得－１－ｌｎ狓０＝ －ｅ 狓０ －１，即狓０ｌｎ狓０＝ｅ． 考查函数犎（狓）＝狓ｌｎ狓，当狓∈（０，１）时，犎（狓）＜０；当狓∈（１，＋∞）时，犎（狓）＞０． 且犎′（狓）＝ｌｎ狓＋１，当狓＞１时，犎′（狓）＞０，犎（狓）单调递增． 注意到犎（ｅ）＝ｅ，故狓０ｌｎ狓０＝ｅ存在唯一的实数根狓０＝ｅ，此时狔０＝１． 故点犃的坐标为犃（ｅ，１）． ２．（２０１９·全国Ⅰ卷理科第１３题）曲线狔＝３（狓 ２＋狓）ｅ狓在点（０，０）处的切线方程为 　　　　　　　　　　　． 【解】　因为狔′＝３（２狓＋１）ｅ 狓＋３（狓２＋狓）ｅ狓＝３（狓２＋３狓＋１）ｅ狓，所以点（０，０）处切线的 斜率犽＝狔′ 狓＝０＝３．则曲线狔＝３（狓 ２＋狓）ｅ狓在点（０，０）处的切线方程为狔＝３狓，即３狓－ 狔＝０．　 ＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（函数篇） ３３　 （二）比较评析 试卷类别 江苏卷 全国卷 共同点 导数的几何意义 不同点 考查的频率 最近几年经常考查 常考 考查的难度 有难有易 较容易 考查的形式 填空题或解答题的第一小题直接考 查导数的几何意义 在选择题或填空题中出现，难度较小 核心素养 数学运算、逻辑推理 数学运算 点评 利用导数的几何意义解题，主要题目 类型有求切线方程、求切点坐标、求 参数值（范围）等 主要考查根据导数的几何意义求参 数值或参数的取值范围，以及与切线 有关的计算、证明问题 二、例题导引 例１　求函数犳（狓）＝ｅ 狓（３狓－２）在狓＝１处的切线方程． 【路径探析】　本题切点已知，代入原函数中求得函数值，代入导函数中求得切线斜率， 进而利用点斜式方程求出切线方程 【详细解析】　∵犳（１）＝ｅ，∴ 切点坐标为（１，ｅ）． ∵犳′（狓）＝３ｅ 狓＋（３狓－２）ｅ狓＝（３狓＋１）ｅ狓，∴犳′（１）＝４ｅ． ∴ 切线方程为狔－ｅ＝４ｅ（狓－１），即狔＝４ｅ狓－３ｅ． 【反思评析】　切点已知时求切线方程是切线问题中较简单的一类问题，体会将切点分 别代入函数与导函数所起到的作用，体会切点横坐标在切线问题中的关键作用． 例２　求过点犃（２，８），且与曲线犳（狓）＝狓 ３相切的直线方程． 【路径探析】　犃（２，８）满足犳（狓）的方程，但题目并没有说明犃是否为切点，所以要根 据犃是否为切点进行分类讨论．当犃是切点时，易于求出切线方程；当犃不是切点时，切点 未知，从而先设再求，设切点为（狓０，狔０），切线斜率为犽，三个未知量需用三个条件求解： ①狔０＝犳（狓０）；②犽＝犳′（狓０）；③犽＝ 狔０－狔犃 狓０－狓犃 ． 【详细解析】　（１）当犃（２，８）为切点时，犳′（狓）＝３狓 ２，犳′（２）＝１２． 所以切线方程为狔－８＝１２（狓－２），即狔＝１２狓－１６． （２）当犃（２，８）不是切点时，设切点为犘（狓０，狔０）（狓０≠２），切线斜率为犽． 所以 狔０＝狓 ３ ０， 犽＝３狓２０， 犽＝ 狔０－８ 狓０－２ 烅 烄 烆 ， 消去犽，狔０可得３狓 ２ ０＝ 狓３０－８ 狓０－２ （）． ∵狓３０－８＝（狓０－２）（狓 ２ ０＋２狓０＋４），狓０≠２， 新高考复习指南·数学  ３４　 ∴ 方程（）等价于３狓 ２ ０＝狓 ２ ０＋２狓０＋４，即狓 ２ ０－狓０－２＝０，解得狓０＝２（舍）或狓０＝－１． ∴狔０＝－１，犽＝３，∴ 切线方程为狔＋１＝３（狓＋１），即狔＝３狓＋２． 综上，切线方程为狔＝１２狓－１６或狔＝３狓＋２． 【反思评析】　（１）不能局限地认为切线与曲线的公共点一定就是切点，还存在一条直 线与曲线相切于一点，并与曲线相交于另一点的情况，本题便是一个典型的例子． （２）在已知一点求切线方程时，要注意切线斜率不仅可用切点的导数值来表示，也可 以用已知点与切点来进行表示，进而增加可以使用的条件． 例３　已知定义在（０，＋∞）上的函数犳（狓）＝狓 ２－犿，犺（狓）＝６ｌｎ狓－４狓，设两条曲线 狔＝犳（狓）与狔＝犺（狓）在公共点处的切线相同，则犿的值等于（　　）． Ａ．－３ Ｂ．１ Ｃ．３ Ｄ．５ 【路径探析】　根据题意设出切点坐标为（狓０，狔０），根据导数的几何意义及两条曲线 狔＝犳（