第二部分 微专题四 多项式函数问题-新高考复习指南·数学

新高考复习指南·数学  ２４　 !"#' 多项式函数问题 一、真题比较 （一）真题再现 １．（２０１７·江苏卷第２０题）已知函数犳（狓）＝狓 ３＋犪狓２＋犫狓＋１（犪＞０，犫∈犚）有极值，且 导函数犳′（狓）的极值点是犳（狓）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （１）求犫关于犪的函数关系式，并写出定义域； （２）证明：犫２＞３犪； （３）若犳（狓），犳′（狓）这两个函数的所有极值之和不小于－ ７ ２ ，求犪的取值范围． 【解】　（１）由犳（狓）＝狓 ３＋犪狓２＋犫狓＋１，得犳′（狓）＝３狓 ２＋２犪狓＋犫＝３狓＋ 犪（ ）３ ２ ＋犫－ 犪２ ３ ． 当狓＝－ 犪 ３ 时，犳′（狓）有极小值犫－ 犪２ ３ ． 因为犳′（狓）的极值点是犳（狓）的零点，所以犳 － 犪（ ）３ ＝－ 犪３ ２７ ＋ 犪３ ９ － 犪犫 ３ ＋１＝０，又犪＞０， 故犫＝ ２犪２ ９ ＋ ３ 犪 ． 因为犳（狓）有极值，故犳′（狓）＝０有实根，从而犫－ 犪２ ３ ＝ １ ９犪 （２７－犪３）≤０，即犪≥３． 当犪＝３时，犳′（狓）＞０（狓≠－１），故犳（狓）在犚上是增函数，犳（狓）没有极值． 当犪＞３时，犳′（狓）＝０有两个相异的实根狓１＝ －犪－ 犪２－３槡 犫 ３ ，狓２＝ －犪＋ 犪２－３槡 犫 ３ ． 列表如下： 狓 （－∞，狓１） 狓１ （狓１，狓２） 狓２ （狓２，＋∞） 犳′（狓） ＋ ０ － ０ ＋ 犳（狓）  极大值  极小值  故犳（狓）的极值点是狓１，狓２．从而犪＞３． ＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（函数篇） ２５　 因此犫＝ ２犪２ ９ ＋ ３ 犪 ，定义域为（３，＋∞）． （２）由（１）知 犫 槡犪 ＝ ２ 槡犪犪 ９ ＋ ３ 槡犪犪 ． 设犵（狋）＝ ２狋 ９ ＋ ３ 狋 ，则犵′（狋）＝ ２ ９ － ３ 狋２ ＝ ２狋２－２７ ９狋２ ． 当狋∈ 槡３ ６ ２ ，＋∞（ ）时，犵′（狋）＞０，从而犵（狋）在 槡３ ６ ２ ，＋∞（ ）上单调递增． 因为犪＞３，所以 槡犪犪＞ 槡３ ３，故犵（槡犪 犪）＞犵（槡３ ３） 槡＝ ３，即 犫 槡犪 ＞槡３．因此犫 ２ ＞３犪． （３）由（１）知，犳（狓）的极值点是狓１，狓２，且狓１＋狓２＝－ ２ ３ 犪，狓２１＋狓 ２ ２＝ ４犪２－６犫 ９ ． 从而犳（狓１）＋犳（狓２）＝狓 ３ １＋犪狓 ２ １＋犫狓１＋１＋狓 ３ ２＋犪狓 ２ ２＋犫狓２＋１ ＝ 狓１ ３ （３狓２１＋２犪狓１＋犫）＋ 狓２ ３ （３狓２２＋２犪狓２＋犫）＋ １ ３ 犪（狓２１＋狓 ２ ２）＋ ２ ３ 犫（狓１＋狓２）＋２　 ＝ ４犪３－６犪犫 ２７ － ４犪犫 ９ ＋２＝０． 记犳（狓），犳′（狓）的所有极值之和为犺（犪）． 因为犳′（狓）的极值为犫－ 犪２ ３ ＝－ １ ９ 犪２＋ ３ 犪 ，所以犺（犪）＝－ １ ９ 犪２＋ ３ 犪 ，犪＞３． 因为犺′（犪）＝－ ２ ９ 犪－ ３ 犪２ ＜０，于是犺（犪）在（３，＋∞）上单调递减． 因为犺（６）＝－ ７ ２ ，于是犺（犪）≥犺（６），故犪≤６． 因此犪的取值范围为（３，６］． ２．（２０１８·全国Ⅱ卷理科第２１题）已知函数犳（狓）＝ １ ３ 狓３－犪（狓２＋狓＋１）． （１）若犪＝３，求犳（狓）的单调区间； （２）证明：犳（狓）只有一个零点． 【解】　（１）当犪＝３时，犳（狓）＝ １ ３ 狓３－３狓２－３狓－３，犳′（狓）＝狓 ２－６狓－３． 令犳′（狓）＝０，解得狓 槡＝３－２ ３或狓 槡＝３＋２ ３． 当狓∈（－∞， 槡３－２ ３）∪（ 槡３＋２ ３，＋∞）时，犳′（狓）＞０； 当狓∈（ 槡３－２ ３， 槡３＋２ ３）时，犳′（狓）＜０． 故犳（狓）在（－∞， 槡３－２ ３），（ 槡３＋２ ３，＋∞）内单调递增，在（ 槡３－２ ３， 槡３＋２ ３）内单调 递减． 新高考复习指南·数学  ２６　 （２）由于狓２＋狓＋１＞０，所以犳（狓）＝０等价于 狓３ 狓２＋狓＋１ －３犪＝０． 设犵（狓）＝ 狓３ 狓２＋狓＋１ －３犪，则犵′（狓）＝ 狓２（狓２＋２狓＋３） （狓２＋狓＋１）２ ≥０，仅当狓＝０时犵′（狓）＝０，所以 犵（狓）在（－∞，＋∞）内单调递增．故犵（狓）至多有一个零点，从而犳（狓）至多有一个零点． 又犳（３犪－１）＝－６犪 ２＋２犪－ １ ３ ＝－６犪－（ ）１６ ２ － １ ６ ＜０，犳（３犪＋１）＝ １ ３ ＞０，故犳（狓）有 一个零点． 综上，犳（狓）只有一个零点． （二）比较评析 试卷类别 江苏卷 全国卷 共同点 考查三次函数的单调性、极值、最值、对称性等 不同点 考查的频率 常考 偶尔考查 考查的难度 中等偏难 选择题、填空题一般以容易题为主，