第二部分 微专题三 分段函数-新高考复习指南·数学

＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（函数篇） １９　 !"#& 分段函数 一、真题比较 （一）真题再现 １．（２０１８·江苏卷第９题）若函数犳（狓）满足犳（狓＋４）＝犳（狓）（狓∈犚），且在区间（－２，２］ 上，犳（狓）＝ ｃｏｓ π狓 ２ ， ０＜狓≤２， 狓＋ １ ２ ， －２＜狓≤０ 烅 烄 烆 ， 则犳（犳（１５））的值为　　　　　． 【解】　由犳（狓＋４）＝犳（狓）得函数犳（狓）的周期为４，所以犳（１５）＝犳（１６－１）＝犳（－１）＝ －１＋ １ ２ ＝ １ ２ ，因此犳（犳（１５））＝犳（ ）１２ ＝ｃｏｓπ４＝槡 ２ ２ ． ２．（２０１７·全国Ⅲ卷理科第１５题）设函数犳（狓）＝ 狓＋１，　狓≤０， ２狓， 狓＞０ 烅 烄 烆 ， 则满足犳（狓）＋ 犳狓－（ ）１２ ＞１的狓的取值范围是　　　　　　　　　　． 【解】　方法一　令犵（狓）＝犳（狓）＋犳狓－（ ）１２ ，则 当狓≤０时，犵（狓）＝犳（狓）＋犳狓－（ ）１２ ＝２狓＋ ３ ２ ； 当０＜狓≤ １ ２ 时，犵（狓）＝犳（狓）＋犳狓－（ ）１２ ＝２狓＋狓＋ １ ２ ； 当狓＞ １ ２ 时，犵（狓）＝犳（狓）＋犳狓－（ ）１２ ＝（槡２＋１）２狓－１． 写成分段函数的形式：犵（狓）＝犳（狓）＋犳狓－（ ）１２ ＝ ２狓＋ ３ ２ ，　　　狓≤０， ２狓＋狓＋ １ ２ ， ０＜狓≤ １ ２ ， （槡２＋１）２ 狓－１，狓＞ １ ２ 烅 烄 烆 ． 新高考复习指南·数学  ２０　 函数犵（狓）在（－∞，０］，０，（ ］１２ ， １ ２ ，＋∞（ ）三个区间内均单调递增，且 犵 －（ ）１４ ＝１，２０＋０＋ １ ２ ＞１，（槡２＋１）×２ １ ２－１＞１． 所以狓的取值范围是 － １ ４ ，＋∞（ ）． 方法二　犳（狓）＝ 狓＋１，　狓≤０， ２狓， 狓＞０ 烅 烄 烆 ， 犳（狓）＋犳 狓－（ ）１２ ＞１，即 犳狓－（ ）１２ ＞１－犳（狓）． 由图象变换可画出狔＝犳 狓－（ ）１２ 与狔＝１－犳（狓）的图象， 如图所示．由图可知，满足犳狓－（ ）１２ ＞１－犳（狓）的狓的取值范 围为 － １ ４ ，＋∞（ ）． （二）比较评析 试卷类别 江苏卷 全国卷 共同点 利用函数的图象探究分段函数的性质 不同点 考查的频率 每年都考 常考 考查的难度 中档题或难题 容易题或中档题 考查的形式 以填空题的形式出现，或融合在解答 题的解题过程中 一般以选择题、填空题的形式考查分 段函数值或参数的求解 核心素养 数学运算 数学运算、直观想象 点评 分段函数作为考查函数知识的最佳载 体，一直是高考命题的热点，解题过程 中常渗透着分类讨论的数学思想 注意研究含参数的分段函数问题 二、例题导引 例１　设函数犳（狓）＝ ｃｏｓπ狓，　　 　狓＞０， 犳（狓＋１）－１，狓≤０ 烅 烄 烆 ， 则犳 － １０（ ）３ 的值为　　　　　． 【路径探析】　由犳（狓）的解析式可知，只有狓＞０时，才能得到具体的数值，狓＜０时只 能依靠犳（狓）＝犳（狓＋１）－１向狓＞０进行靠拢． 【详细解析】　犳 － １０（ ）３ ＝犳 －（ ） ７ ３ －１＝犳 －（ ）４３ －２＝犳 －（ ） １ ３ －３＝犳（ ）２３ －４，而 犳（ ）２３ ＝ｃｏｓ ２π ３ ＝－ １ ２ ，所以犳 － １０（ ）３ ＝－ ９ ２ ． 【反思评析】　含有抽象函数的分段函数，在处理时首先要明确目标，即让自变量向有 ＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（函数篇） ２１　 具体解析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）．比 如，在本题中狓＜０，犳（狓）＝犳（狓＋１）－１可以理解为自变量间隔为１，函数值差１，其作用在 于自变量取负数时，可以不断＋１直至取到正数．理解这两点后，问题迎刃而解． 例２　已知函数犳（）狓 ＝ －狓２＋２狓＋３，狓≤０， ２狓＋１＋１， 狓＞０ 烅 烄 烆 ， 则不等式犳 狓（ ）＋８ ＜犳 狓 ２＋３（ ）狓 的解 集为　　　　　　　． 【路径探析】　本题如果通过分类讨论将不等式变为具体不等式求解，则有两个难点： 一是要考虑狓＋８，狓２＋３狓的范围，需要分的情况太多；二是具体的不等式可能是多项式与 指数式混在一起的不等式，不易进行求解． 【详细解析】　分析犳（）狓 的函数性质，发现犳（）狓 的两段解析式均可作图，所以考虑作 出犳（）狓 的图象．从而发现犳（）狓 是增函数，所以无论狓＋８，狓 ２＋３狓在哪个范围，犳狓（ ）＋８ ＜ 犳狓 ２＋３（ ）狓 狓＋８＜狓 ２＋３狓，解得狓＜－４或狓＞２． 【反思评析】　对于含分段函数的不等式通常有两种处理方法：一种是利用代数手段， 通过对狓进行分类讨论将含分段函数的不等式转化为具体的不等式求解；