第二部分 微专题二 函数的图象与性质(2)-新高考复习指南·数学

新高考复习指南·数学  １４　 !"#% 函数的图象与性质（２） 一、真题比较 （一）真题再现 １．（２０１９·江苏卷第１４题）设犳（狓），犵（狓）是定义在犚上的两个周期函数，犳（狓）的周 期为４，犵（狓）的周期为２，且犳（狓）是奇函数．当狓∈（０，２］时，犳（狓）＝ １－（狓－１）槡 ２，犵（狓）＝ 犽（狓＋２），　０＜狓≤１， － １ ２ ， １＜狓≤２ 烅 烄 烆 ， 其中犽＞０．若在区间（０，９］上，关于狓的方程犳（狓）＝犵（狓）有８个不 同的实数根，则犽的取值范围是　　　　　　． 【解】　当狓∈（０，２］时，犳（狓）＝ １－（狓－１）槡 ２， 即（狓－１）２＋狔 ２＝１，狔≥０． 又犳（狓）为奇函数，其图象关于原点对称，其周 期为４，函数犳（狓）与犵（狓）的图象如图所示，要使 犳（狓）＝犵（狓）在（０，９］上有８个实根，只需二者图象 有８个交点即可． 当犵（狓）＝－ １ ２ 时，函数犳（狓）与犵（狓）的图象有２个交点． 当犵（狓）＝犽（狓＋２）时，犵（狓）的图象为恒过点（－２，０）的直线，只需函数犳（狓）与犵（狓）的 图象有６个交点．当犳（狓）与犵（狓）的图象相切时，圆心（１，０）到直线犽狓－狔＋２犽＝０的距离 为１，即 ｜犽＋２犽｜ １＋犽槡 ２ ＝１，得犽＝槡 ２ ４ ，函数犳（狓）与犵（狓）的图象有３个交点；当犵（狓）＝犽（狓＋２）过 点（１，１）时，函数犳（狓）与犵（狓）的图象有６个交点，此时１＝３犽，得犽＝ １ ３ ． 综上可知，满足犳（狓）＝犵（狓）在（０，９］上有８个实根的犽的取值范围为 １ ３ ，槡２［ ） ４ ． ２．（２０１９·全国Ⅱ卷理科第１２题）设函数犳（狓）的定义域为 犚，满足犳（狓＋１）＝ ＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（函数篇） １５　 ２犳（狓），且当狓∈（０，１］时，犳（狓）＝狓（狓－１）．若对任意狓∈（－∞，犿］，都有犳（狓）≥－ ８ ９ ，则 犿的取值范围是（　　）． Ａ． －∞，（ ］９４ Ｂ． －∞，（ ］ ７ ３ Ｃ． －∞，（ ］５２ Ｄ． －∞，（ ］ ８ ３ 【解】　∵狓∈（０，１］时，犳（狓）＝狓（狓－１），又犳（狓＋１）＝２犳（狓），∴狓∈（１，２］时，犳（狓）＝ ２犳（狓－１），即将犳（狓）的图象右移１个单位，纵坐标变为原来的２倍． 如图，当２＜狓≤３时，犳（狓）＝４犳（狓－２）＝ ４（狓－２）（狓－３），令４（狓－２）（狓－３）＝－ ８ ９ ，整 理得９狓２－４５狓＋５６＝０，解得狓１＝ ７ ３ ，狓２＝ ８ ３ （舍）．所以狓∈（－∞，犿］时，犳（狓）≥－ ８ ９ 成立， 即犿≤ ７ ３ ，故犿∈ －∞，（ ］７３ ，故选Ｂ． （二）比较评析 试卷类别 江苏卷 全国卷 共同点 根据题意作出图象，利用图象研究函数性质和参数的取值范围问题 不同点 考查的频率 常考 基本每年都考 考查的难度 中档题或难题 难题 考查的形式 以几类初等函数为基础，结合函数的 性质综合考查 利用函数图象解函数不等式或函数 零点问题 核心素养 逻辑推理 直观想象、逻辑推理 点评 常以分段函数的形式出现，要求根据 性质作出图象，研究性质 利用图象能够简化运算 二、例题导引 例１　设函数犳（狓）＝ ２－狓，　狓≤０， １， 狓＞０ 烅 烄 烆 ， 则满足犳（狓＋１）＜犳（２狓）的狓 的取值范围 是（　　）． Ａ．（－∞，－１］　　　Ｂ．（０，＋∞）　　　Ｃ．（－１，０）　　　Ｄ．（－∞，０） 【路径探析】　首先根据题中所给的函数解析式，将函数图象画出来，从图中可以发现， 若犳（狓＋１）＜犳（２狓）成立，一定会有 ２狓＜０， ２狓＜狓＋１ 烅 烄 烆 ， 从而求得结果． 新高考复习指南·数学  １６　 【详细解析】　将函数犳（狓）的图象画出来，观察图象可知 ２狓＜０， ２狓＜狓＋１ 烅 烄 烆 ， 解得狓＜０，所以满足犳（狓＋１）＜犳（２狓）的狓的取值范 围是（－∞，０），故选Ｄ． 【反思评析】　该题考查的是通过函数值的大小来推断自变量 的大小关系，从而求得相关参数的问题．在求解过程中，需要利用函数解析式画出函数图 象，从而得到要使函数值有大有小，绝对不是常函数，因而确定出自变量所处的位置，结合 函数值的大小，确定自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，求得结果． 例２　关于函数犳（狓）＝ｓｉｎ｜狓｜＋｜ｓｉｎ狓｜，有下述四个结论： ①犳（狓）是偶函数；②犳（狓）在区间 π ２ ，（ ）π 内单调递增； ③犳（狓）在［－π，π］内有４个零点；④犳（狓）的最大值为２． 其中所有正确结论的序号是（　　）． Ａ．①②④ Ｂ．②④ Ｃ．①④ Ｄ．①③ 【路径探析】　化简函数犳（狓）＝ｓｉｎ｜狓｜＋｜ｓｉｎ狓｜，研究它的性质从而得出正确答案．