第二部分 微专题一 函数的图象与性质(1)-新高考复习指南·数学

＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（函数篇） ９　 檪檪檪檪檪檪檪 檪 檪檪檪檪檪檪檪 檪 殏 殏殏 殏 函 数 篇 !"#$ 函数的图象与性质（１） 一、真题比较 （一）真题再现 １．（２０１５·江苏卷第１３题）已知函数犳（狓）＝｜ｌｎ狓｜，犵（狓）＝ ０，　　　　　０＜狓≤１， ｜狓 ２－４｜－２，狓＞１ 烅 烄 烆 ， 则 方程｜犳（狓）＋犵（狓）｜＝１的实根的个数为　　　　． 【解】　题意是求函数狔＝犳（狓）与狔＝１－犵（狓）的交点个数以及函数狔＝犳（狓）与 狔＝－１－犵（狓）的交点个数之和．因为狔＝１－犵（狓）＝ １，　　　０＜狓≤１， ７－狓２， 狓≥２， 狓２－１， １＜狓＜２ 烅 烄 烆 ， 所以函数狔＝ 犳（狓）与狔＝１－犵（狓）有２个交点．又狔＝－１－犵（狓）＝ －１，　　０＜狓≤１， ５－狓２， 狓≥２， 狓２－３， １＜狓＜２ 烅 烄 烆 ， 所以函数狔＝ 犳（狓）与狔＝－１－犵（狓）有２个交点．因此，共有４个交点． ２．（２０１９·全国Ⅰ卷理科第５题）函数犳（狓）＝ ｓｉｎ狓＋狓 ｃｏｓ狓＋狓２ 在［－π，π］上的图象大致为 （　　）．　 　　　　　 Ａ． Ｂ． 新高考复习指南·数学  １０　 Ｃ． Ｄ． 【解】　由犳（－狓）＝ ｓｉｎ（－狓）＋（－狓） ｃｏｓ（－狓）＋（－狓）２ ＝ －ｓｉｎ狓－狓 ｃｏｓ狓＋狓２ ＝－犳（狓），得犳（狓）是奇函数，其图 象关于原点对称．又犳 π（ ）２ ＝ １＋ π ２ π（ ）２ ２＝ ４＋２π π ２ ＞１，犳（π）＝ π －１＋π ２＞０．故选Ｄ． （二）比较评析 试卷类别 江苏卷 全国卷 共同点 图象与性质的研究 不同点 考查的频率 常考 每年都考 考查的难度 中档题或难题 中档题 考查的形式 依据函数解析式作图，研究图象的交 点个数问题 在选择题或填空题中单独考查图象 的判断 核心素养 逻辑推理 直观想象、逻辑推理 点评 在解答题中会涉及作图、用图问题 函数图象作为考查的一个“重头戏”， 是研究函数的性质、方程，以及不等 式的重要“武器” 二、例题导引 例１　函数犳（狓）＝ ｅ狓－ｅ－狓 狓２ 的图象大致为（　　）． 　 　　 　　 　　 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【路径探析】　通过研究函数的奇偶性及单调性，确定函数图象． 【详细解析】　∵狓≠０，犳（－狓）＝ ｅ－狓－ｅ狓 狓２ ＝－犳（狓），∴犳（狓）为奇函数，排除Ａ． ∵犳（１）＝ｅ－ｅ －１ ＞０，∴ 排除Ｄ． ＞＞＞ 第二部分　新高考复习重点解剖（函数篇） １１　 ∵犳′（狓）＝ （ｅ狓＋ｅ－狓）狓２－（ｅ狓－ｅ－狓）×２狓 狓４ ＝ （狓－２）ｅ狓＋（狓＋２）ｅ－狓 狓３ ， ∴ 当狓＞２时，犳′（狓）＞０，所以排除Ｃ．因此选Ｂ． 【反思评析】　有关函数图象识别问题的常见解题思路：（１）利用函数的特征点，排除 不符合要求的图象；（２）由函数的定义域判断图象的左右位置，由函数的值域判断图象的 上下位置；（３）由函数的单调性判断图象的变化趋势；（４）由函数的奇偶性判断图象的对称 性；（５）由函数的周期性判断图象的循环往复． 例２　已知函数犳（狓）的部分图象如图所示，则犳（狓）的解析式 可以是（　　）． Ａ．犳（狓）＝ ２－狓２ ２狓 　　　　　　　　　　　Ｂ．犳（狓）＝ ｃｏｓ狓 狓２ Ｃ．犳（狓）＝ ｃｏｓ２狓 狓 Ｄ．犳（狓）＝ ｃｏｓ狓 狓 【路径探析】　观察图象得出犳（狓）是奇函数，犳（π）＜０，再根据零点可能的取值判断． 【详细解析】　由函数的图象可知函数是奇函数，故排除Ｂ． 当狓＝π时，犳（狓）＝ ２－狓２ ２狓 ＝ ２－π ２ ２π ＜０；犳（狓）＝ ｃｏｓ２狓 狓 ＝ ｃｏｓ２π π ＝ １ π ＞０，Ｃ不满足题意； 犳（狓）＝ ｃｏｓ狓 狓 ＝ ｃｏｓπ π ＝－ １ π ＜０． 因为犳（狓）＝ ｃｏｓ狓 狓 是奇函数，狓＝± π ２ 时，犳（狓）＝０，犳′（狓）＝ －狓ｓｉｎ狓－ｃｏｓ狓 狓２ ，所以函数的 解析式可能是Ｄ． 犳（狓）＝ ２－狓２ ２狓 是奇函数，零点为狓 槡＝± ２．由图知犳（狓）至少有４个零点，所以排除Ａ． 故选Ｄ． 【反思评析】　注意利用奇偶性、特殊值、极限思想帮助解题． 例３　已知定义在区间［０，２］上的函数狔＝犳（狓）的图象如图所 示，则狔＝－犳（２－狓）的图象为（　　）． 【路径探析】　由于本题是选择题，故可采用特殊值法快速解答． 【详细解析】　特殊值法．当狓＝２时，狔＝－犳（２－狓）＝－犳（２－２）＝－犳（０）＝０，故可排 除Ｄ；当狓＝１时，狔＝－犳（２－狓）＝－犳（２－１）＝－犳（１）＝－１，故可排除Ａ，Ｃ．所以由排除 新高考复习指南·数学  １２　 法知选Ｂ． 【反思评析】　本题也可以由原函