压轴题20以相似为背景的几何类比探究压轴问题-2023年中考数学压轴题专项训练（全国通用）

2023年中考数学压轴题专项训练 压轴题20以相似为背景的几何类比探究压轴问题 例1．（2023•青山区模拟）（1）已知，直线AC与BD交于点O． ①如图1，若∠A＝∠D，求证：AO•CO＝BO•DO； ②如图2，若∠A+∠D＝180°，求证：； （2）如图3，在△ABC中，∠A＝60°，E为BD中点，且∠BEC＝120°，DE：CD＝1：n．则AB：CE＝　 　． ​ 例2．（2023•慈溪市一模）【证明体验】（1）如图1，在△ABC中，D为AB边上一点，连结CD，若∠ACD＝∠ABC，求证：AC2＝AD•AB． （2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2，D为AB边上一动点，连结CD，E为CD中点，连结BE． 【思考探究】①如图2，当∠ACD＝∠DBE时，求AD的长． 【拓展延伸】②如图3，当∠DEB＝30°时，求AD的长． 例3．（2023•温江区校级模拟）如图1，矩形ABCD中，∠ACB＝30°，点E在对角线AC上，点F在边AD上运动，连接EF，作∠FEG＝90°，交直线BC于点G，且，AB＝6． （1）如图2，当点F与点D重合时，求的值； （2）点F在边AD上运动过程中，当△AEF成为以AE为腰的等腰三角形时，求BG的长； （3）记点F关于直线AC的轴对称点为点P，若点P落在∠EBC的内部（不含边界），求DF的取值范围． 例4．（2023•广水市模拟）爱动脑筋的小明同学在学习完角平分线的性质一节后意犹未尽经过思考发现里面还有一个有趣的结论： （1）【问题发现】如图1所示，若AD是∠BAC的角平分线，可得到结论：． 小明的解法如下： 过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，过点A作AG⊥BC于点G， ∵AD是∠BAC的角平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC， ∴　 　， ， ∵， ∴． （2）【类比探究】如图2所示，若AD是∠BAC的外角平分线，AD与BC的延长线交于点D．求证：； （3）【直接应用】如图3所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BD＝10，CD＝6，在不添加辅助线的情况下直接写出AB＝　 　． （4）【拓展应用】如图4所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，将△ABC先沿∠BAC的平分线AD折叠，B点刚好落在AC上的E点，剪掉重叠部分（即四边形ABDE），再将余下部分（△CDE）沿∠DEC的平分线EF折叠，再剪掉重叠部分（即四边形DEGF），求出剩余部分△FCG的面积． 1．（2023•仪征市一模）已知菱形ABCD中，点E是对角线AC上一点，点F是边AD上一点，连接EF、BE、CF． 【特例探究】：（1）如图1，若∠ABC＝60°且EF∥CD，线段BE、CF满足的数量关系是 　 　； （2）如图2，若∠ABC＝90°且EF⊥AC，判定线段BE、CF满足的数量关系，并说明理由； 【一般探究】（3）如图3，根据特例的探究，若∠BAC＝α，AE＝EF，请求出的值（用含α的式子表示）； 【发现应用】（4）如图3，根据“一般探究”中的条件，若菱形边长为1，，点F在直线AD上运动，则△CEF面积的最大值为 　 　． 2．（2023•浦东新区二模）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，过点B作BE⊥AD，垂足为点E，点G在边AD上，连接BG、CG，对角线AC与BE、BG分别交于点F、H，且AE•BG＝AF•BE． （1）求证：BG⊥AC； （2）如果∠DGC＝2∠DCG，且DC是DG与DA的比例中项，求证：四边形ABCG是菱形． 3．（2023•周村区一模）如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一点，过点E作BD的垂线交BD于点P，交AB于点F，连接AP并延长交BC于点G． （1）求证：PE＝PF； （2）若BG＝CE，求∠EPG的度数； （3）若AB＝6，EG＝1，求△PGE的面积． 4．（2023•市北区一模）如图所示，矩形ABCD，AB＝3cm，BC＝5cm，E为边AD上一点，ED＝1cm．点P从点B出发，沿BE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题： （1）当t为何值时，以P、Q、B为顶点的三角形和△ABE相似； （2）设五边形PEDCQ的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式； （3）连接CE，取CE中点F，连接DF，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使PQ∥DF？若存在，请直接给出t的值（不必提供求解过程）；若不存在，请说明理由． ​ 5．（2023•历下区一模）如图1，已知正方形AFEG与正方形ABCD有公共顶点A，点E在正方形ABCD的