第17讲 牛吃草问题-小学数学解决问题专项训练

第十七讲 牛吃草问题 牛吃草问题是比较难的典型应用题, 它之所以难,是因为草场上提供的草料是个变量, 这个变量跟时间有关,但又不是跟时间成正比例的量,而是跟时间成正比例的新长草料这个变量与草场原有草料这个不变量相加的和。弄清这个关系,是解答牛吃草问题以及与此类似问题的关键。 例1 有一片牧场，草每天都在均匀地生长。如果放24头牛，则6天吃完草；如果放21头牛，则8天吃完草。要使草永远吃不完，最多放多少头牛？ 【分析】此题属于牛吃草问题，要求的是使草永远吃不完，最多放多少头牛，这就是说牛每天只能吃牧场新长的草，而不能吃牧场原有的草。假设每头牛每天吃草量为1份，要解答此题，只要求出牧场每天可以长出多少青草即可。 【解】比较牧场6天和8天的青草总量得出，即牧场8天的青草总量比6天的青草总量多1×21×8-1×24×6=24（份）。 根据牧场的原有牧草量不变，可得牧场每天新生长牧草量为24÷（8-6）=24÷2=12（份）。 所以，要使草永远吃不完，牧场最多放12÷1=12（头）牛。 答：最多放牧12头牛。 例2 “六一”儿童节这天，许多人去动物园玩。动物园开门前，门口就已有700人排队等候。开门后，每分钟来的游客总是同样多。已知1个入口每分钟可以进入30人，开放4个入口，经过10分钟，门口就没有人排队了。这时，只要开放几个入口，就可以保证再来的游客不需排队？ 【分析】此题类似于牛吃草问题，这里的开门前门口已有的700人就相当于牧场原有牧草量，新来的游客就相当于牧场新长的牧草量，开放的入口数就相当于吃牧场牧草牛的头数。此题求的是只要开放几个入口，就可以保证再来的游客不需要排队，这就是说，每分钟来的新游客，开放的入口都能进来。因此，要先求出每分钟新来的游客数。 【解】根据“1个入口每分钟可以进入30人，开放4个入口，经过10分钟，门口就没有人排队了”，可知游客的总数为： 30×4×10=1200（人）, 每分钟新来的游客数： （1200-700）÷10=500÷10=50（人）。 50÷30≈1. 7＜2,所以，只要开放2个入口，就可以保证再来的游客不需排队。 答：需要开放2个入口。 例3 某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。如果同时开放3个检票口，那么，40分钟检票口前队伍恰好消失；如果同时开放4个检票口，那么，25分钟队伍恰好消失。如果开放8个检票口，那么，队伍多少分钟恰好消失？ 【分析】此题类似于牛吃草问题，这里开放入口检票前已排队的人数就相当于牧场原有的牧草量，新来的旅客数就相当于牧场新生长的牧草量，开放的检票口数，就相当于要吃牧场牧草的牛的头数。所谓检票口前的队伍恰好消失，就是说检票前排队的人数和随着时间的推移不断新来的旅客都全部检票入场。 【解】设1个检票口1分钟检票入场的人数为“1”个流量，则前后两次检票入场人数就相差： 1×3×40-1×4×25=120-100=20（流量）。 因为检票前排队等待检票的旅客人数是不变的，所以，每分钟新来的旅客人数为20÷（40-25）=20÷15=（流量）。 故，检票前排队等待的旅客的人数为： 1×3×40-×40=120-=（流量）， 开8个检票口，每分钟不仅能检完新来旅客的票，还能让检票前排队等待的旅客1×8-=（人）检票入场。 所以，如果开放8个检票口，队伍 ÷=10（分钟），就恰好消失。 答：（略） 例4 某水库建有10个泄洪闸。若水库的水位已经超过安全线，且上游河水还在按不变的速度增加。为了防洪，需调节泄洪速度。假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸30小时，水位降至安全线；若打开2个泄洪闸，10小时水位降至安全线。现在抗洪指挥部要求在5.5小时使水位降至安全线以下，至少要同时打开多少个闸门？ 【分析】此题属工程问题，但在解题思路上，与牛吃草问题是一样的。 【解】设打开1个泄洪闸，1小时泄洪量为1份，则上游河水每小时的增加量为： （1×1×30-1×2×10）÷（30-10）=0.5（份）， 水库泄洪前已超安全线的水量为： 1×1×30-0.5×30=15（份）或1×2×10-0.5×105=15（份）。 要在5.5小时内将水位降至安全线以下，需泄洪的总水量为： 15+0.5×5.5=15+2.75=17. 75（份）。 因为17.75÷5.5≈3.2＜4, 所以， 要在5.5小时使水位降至安全线以下，至少打开4个闸门。 答：（略） 练习十七 1、一个牧场上长满了牧草，牧草每天匀速生长。这个牧场上的草可供10头牛吃20天，也可供15头牛吃10天。那么，多少头牛可用4天时间吃完这个牧场上的牧草呢？ 2、牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草可供给10头牛吃22