第14讲 行程问题-小学数学解决问题专项训练

第十四讲 行程问题 行程问题是一种典型的应用问题, 在小学数学中占有重要的位置。它的基本框架是由速度、时间和距离三个要素组成的。其应用是相当广泛的, 包括基本行程问题、相遇问题、追及问题和综合行程问题。这些问题, 都要涉及到速度、时间和距离这三个要素的相互关系, 这是解决行程问题的出发点和归宿。 一、基本行程问题 基本行程问题一般是一个主体, 不存在两个和两个以上主体, 即使存在两个及两个以上主体, 但也不存在相遇和追及的问题。解决这类问题,关键是要搞清楚三个要素之间的相互关系。 例1 有一座铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，整列火车在桥上的时间是80秒。这列火车的速度和长度分别是多少？ 【分析】此题求的是火车的速度和长度, 首要的是要求出火车的速度,这就要找出距离和时间。根据“测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒, 整列火车在桥上的时间是80秒”, 可知120秒中火车行程比桥长多了一个火车的长, 80秒中火车行程比桥长少了一个火车的长。 【解】据题意，火车行1000米桥长,需要的时间为(120+80)÷2=100(秒)，所以, 火车的速度为：1000÷100=10(米/秒), 火车的长度为：10×（120-100）=200(米)。 例2 某部队军训要往返一个山岭，去时用了6.5小时，回来用了7.5小时。部队规定上坡每小时行5千米，下坡每小时行千米。求这个山岭的路程全长。 【分析】解答此题，要弄清楚以下三个问题：（1）来去所行的路程是一样的；（2）去时走的上坡路就是回来走的下坡路，去时走的下坡路就是回来走的上坡路；（3）来去往返一趟合起来，走的上坡路和下坡路里程是一样的。 【解法】采用逐层推导的方法来解答。根据“上坡每小时行5千米，下坡每小时行千米”，可得每行1千米上坡路要用（小时），每行1千米下坡路要用（小时），进而可得，行1千米上坡路和行1千米下坡路共用（小时）。 因为来去往返一趟合起来，走的上坡路和下坡路里程是一样的，且共用的时间为6.5+7.5=14（小时）。所以，这个山岭路程的全长是（千米）。 例3 一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速减少10%,那么要比原定时间迟到1小时；如果以原速行驶180千米，再把车速提高20%，那么可比原定时间提早1小时到达。求甲、乙两地相距多少千米？ 【分析】此题要依据行程问题中速度、时间和距离三者之间的相互关系来解答。先求出全程原定的时间。 【解法1】由“如果把车速减少10%，那么要比原定时间迟到1小时”，可得原定时间为：1÷10%-1=9（小时）. 如果按车速提高20%行驶全程，则需要的时间为： 9÷（1+20%）=7.5（小时）。比原速行驶少用9-7.5=1. 5（小时）。 “以原速行驶180千米，再把车速提高20%，那么可比原定时间早1小时到达”，即实际是8小时到达。 可得行驶180千米，车速提高20%时所用时间比按原速提高20%行驶多用8-7.5=0.5（小时）。根据路程比等于时间差比，可得甲、乙两地相距180×=180×3=540（千米）。 【解法2】由解法1可知，根据“如果以原速行驶180千米，再把车速提高20%，那么可比原定时间早1小时到达”， 可得行驶180千米，车速提高20%时所用时间比全程按提速行驶多少用9-1-7.5=0.5（小时），进而可得以原速行驶180千米需要0.5×=0.5×6=3（小时）。所以，甲、乙两地相距180÷3×9=60×9=540（千米）。 二、相遇问题 相遇问题的主体是两个和两个以上, 一般来讲, 两个和两个以上主体在直线道路上是相向而行的, 在圆形道路上是反向而行的。繁杂的相遇问题还不是一次相遇, 有时是两次或两次以上相遇。当两个主体在直线道路上相向而行，第一次相遇时行程和为两地的距离，第二次相遇时行程和是两地距离的3倍，第三次相遇时行程和是两地距离的5倍，依此类推。 例1 甲、乙两车分别同时从A、B 两地相向开出，已知两车速度比为7: 11。它们相遇后，又沿原方向前进，各自到达对方的起点后，立即返回，两车再次相遇时，甲离B 地80千米。求A、B 两地间的距离。 【分析】根据题意，可画出下列示意图： 甲 乙 A C 　 D 80千米 B 上图中，C 为甲、乙两车第一次相遇点，D 为甲、乙两车第二次相遇点，BD 为80千米。由上图可知，甲、乙两车第一次相遇，行程和就是A、B 两地间的距离；第二次相遇时，甲、乙两车行程和就是A、B两地间距离的3倍；从第一次相遇到第二次相遇，甲、乙两车行程和就是A、B两地间距离的3-1=2