第13讲 抽屉和容斥问题-小学数学解决问题专项训练

第十三讲 抽屉和容斥问题 一、抽屉问题 抽屉问题是一种典型的应用问题, 它是利用物体和存放物体的抽屉个数的相互关系来设置和解答问题的。抽屉原理是小学数学解题的基本原理之一，其内容是：如果将件物体放入到个抽屉里，则至少有一个抽屉里放的物体不少于2件。有时也称抽屉原则或鸽巢原理。应用抽屉原理来解决问题的关键在于构造恰当的“抽屉”。 例1 口袋里有一些写有1，2，3，4，……等自然数的纸牌。小明要任意取11张纸牌，使其至少有2张纸牌所写的数差为5。那么口袋里最多有多少张纸牌？ 【分析1】此题可以运用抽屉原理来解答。首先要指出, 纸牌最多不能超过20张,因为超过20张, 就不可能任取11张纸牌, 使其至少有2张纸牌所写数的差为5。假如纸牌21张,排号为1～21, 取出的11张纸牌的自然数若是1，2，3，4，10，11，12，18，19，20，21，显然, 这11个自然数中任两个的差都不为5。若纸牌20张, 即纸牌上的自然数为1～20, 每个只取1次, 差为5的有10对,即（1，6）、（2，7）、（3，8）、（4，9）、（5，10）、（11，16）、（12，17）、（13，18）、（14，19）、（15，20）。 【解法1】据题意，纸牌最多不能超过20张。这样，设计10个抽屉, 先各放这写有1～20的自然数的纸牌一张, 而任取第11张纸牌, 根据抽屉原理, 总可以找到一个抽屉, 使这个抽屉中已放的纸牌与第11张纸牌上的两个自然数的差为5。 由此可以得出, 小明要任意取11张纸牌，使其至少有2张纸牌所写的数差为5，那口袋里最多有20张纸牌。 【分析2】要想任意取11张纸牌，使其至少有2张纸牌所写的差相差5，那必须要设计10个抽屉，每个抽屉都要有2张纸牌，那10个抽屉共有2×10=20（张）纸牌。20张纸牌写有1～20这20个自然数，这20个自然数可以组成差都是5的有10对数，即（1，6）、（2，7）、（3，8）、（4，9）、（5，10）、（11，16）、（12，17）、（13，18）、（14，19）、（15，20）。 【解法2】将10对数（1，6）、（2，7）、（3，8）、（4，9）、（5，10）、（11，16）、（12，17）、（13，18）、（14，19）、（15，20）的纸牌各放在一个抽屉里, 如果我们要在这10个抽屉里取11张纸牌, 那么至少要有2张纸牌是从同一个抽屉中取出的, 从同一个抽屉中取出的这两张纸牌上的自然数的差一定是5。 由此可以得出，小明要任意取11张纸牌，使其至少有2张纸牌所写的数的差为5，那口袋里最多有20张纸牌。 例2 在一次数学竞赛中，有5道选择题，评分办法是：答对一题得4分，答错一题倒扣1分，不答得0分。已知参加考试的学生中，至少有3人得分相同。那么，参加考试的学生至少有多少人？ 【分析】解答此题，首先要计算出可能得分的种数。 【解】根据评分标准，最高分为4×5=20（分），最低分为倒扣1×5=5（分），最多有20+5+1=26（种）可能。但根据评分标准，不可能得到的分数有19分、18分、17分、14分、13分、6分等6种，因此，可能得到的分数只有26-6=20（种）。 根据抽屉原理，为了保证至少有3人得分相同，所以，参加考试的学生至少有2×20+1=41（人）。 例3 在边长为1的正三角形中（包括边线）任意放入5个点。求证：必有两个点，它们之间的距离不大于 【证明】依次连接这个正三角形三边的中点，这样大正三角形被平均分成边长都为的4个小正三角形。把5个点放入大正三角形中，至少有一个小正三角形内有两个有2个或以上的点，这样的2个点的距离不大于得证。 二、容斥问题 容斥问题是一类典型的应用问题, 它涉及到包容和排斥两方面的情况。解答此类问题, 一要正确理解包容和排斥这两个概念的涵义, 二是理清题目中存在的包容和排斥的状况以及它们之间的相互联系, 一般情况下，可以应用集合论的知识去探寻问题的解答。 例1 某部英雄连尖刀排都是练功手，全排40人，会骑马30人，会摔跤16人，会拳击24人。排长还提供三组数字：会骑马又会摔跤的14人，会摔跤又会拳击的12人，会拳击又会骑马的8人。请你算一下，三项全能的士兵有多少人？ 【分析】根据题意，画维恩图如下，利用集合知识解答。 【解】如下图中，设集合A、B、C分别表示会骑马、会拳击和会摔跤的人，则 ， ， ，，.从而， =40-30-16-24+14+12+8=4（人） 所以，三项全能的士兵有4人 例2 某旅游团连导游在内共有40人，在他们参观完各个景点之后，导游将他们带进了冷饮厅。他们当中有16人要了可乐，15人要了咖啡，11人要了果汁。5个人既要了可乐又要了咖啡，3个人既要了咖啡又要了果汁，2个人既要了可乐又要了果汁，只有1个人三样都要了。这40人中有多少人没有要冷