第12讲 盈亏问题-小学数学解决问题专项训练

第十二讲 盈亏问题 盈亏问题是一种典型的应用问题, 常见的是已知盈余（或剩余）和亏损（或欠缺）的数额,求原来的数量。解答盈亏问题, 一般先求出盈余与亏损的和,再用和除以相当于和的数量上的份额,就容易得到一份的的数量和共有的数量。但实际遇到的盈亏问题与类似的盈亏问题, 解答起来都比较困难, 需要通过逐步化归,使其转化为“标准”的盈亏问题, 从而获得问题的解决。 例1 一妇人买肉，买一斤差四十钱，买九两余十六钱。问妇人的钱可买肉多少？（一斤为十两） 【分析】此题是最基本的盈亏问题。根据妇人带的钱是不变的,买9两余16,买1斤（10两）差40, 可得1两肉的价值为(40+16)÷（10-9）=56÷1=56。此计算过程可通过下图帮助理解，即： 16 40 上图第二条黑粗线和第一条全线长都表示妇人带的钱数，第一条黑粗线表示买9两肉用的钱数，第二条全线长表示买1斤肉用的钱数，所以，40+16=56就是买1斤肉比买9两肉多用的钱数，即1两肉的价值为56÷（10-9）=56÷1=56。 【解】1两肉的价值为(40+16)÷（10-9）=56÷1=56。 妇人的钱可买肉9+16÷56=9+=9(两). 或10-40÷56=10-=9(两)。 例2 某班学生去划船，如果增加一条船，那么每条船正好坐6人；如果减少一条船，那么每条船就要坐9人。问：学生有多少人？ 【分析】此题表面上不像盈亏问题，但适当转化条件，就可以按照盈亏问题来解答。即根据“如果增加一条船，那么每条船正好坐6人”，可知不增加一条船，就剩余6人无船可坐；根据“如果减少一条船，那么每条船就要坐9人”，可知每条船坐9人，就空出一条船，即差9人。 【解】原有船只为（6+9）÷（9-6）=15÷3=5（条）。 学生则有6×（5+1）=6×6=36（人）。 例3 有若干个苹果、若干个梨，如果按1个苹果2个梨分堆，梨分完了，苹果还剩5个；如果按3个苹果5个梨分堆，苹果分完了，梨还剩5个。苹果和梨各有多少个？ 【分析】此题虽不属于盈亏问题，但可以依照盈亏问题的解答思路进行求解。即将苹果当作人数，梨当作物品进行分配。 【解】按第一次分法，每个苹果分2（个）梨，则梨差2×5=10（个）；按第二次分法，每个苹果分5÷3=（个）梨，则梨剩余5个。所以， 苹果有（5+10）÷（2-）=45（个）， 梨有45×2-10=90-10=80（个）。 例4 有一箱图书借给一些同学阅读。如果每人都借相同的本数，还剩14本；如果每人都借9本，最后有1人只能借6本。这些同学有多少人？ 【分析】此题类似于盈亏问题，可采用分析推理的方法来解答。一般盈亏类问题，都有明确的标数，而此题第一种分法，相同的本数没有明确数字。对此，可以先把前后两次借给每人本数之差求出来，其应能整除两次分配的本数之差， 【解】第一次剩余14本，第二次每人借9本，缺少9-6=3（本），则第二次与第一次相差14+3=17（本），要使17能被前后两次借给每人的本数之差整除，那本数之差只能是1或17。17不合题意，只能是1，所以，这些同学有17÷1=17（人）。 例5 用绳子测井深，把绳子三折来量，井外余16分米；把绳子四折来量，井外余4分米。求井深和绳长。 16分米 4分米 【分析】此题类似于盈亏问题,可有三种方法。 【解法1】通过分析绳长和井深的关系来解答。由上面左图可知，绳长等于井深的3倍加16×3=48（分米）；由上面右图可知，绳长等于井深的4倍加4×4=16（分米）。比较这两个关系可得，井深的1倍，即井深是： （48–16）÷（4–3）=32（分米），而绳长就是： （32＋16）×3=144（分米）或（32+4）×4=144（分米）。 【解法2】观察上面的图形可知：绳子三折后每段的长度与四折后每段的长度相差16–4=12（分米）；再观察比较图形还可以发现，绳子四折后每段的长度是上面已求得差的3倍，即为12×3=36（分米），所以绳长为36×4=144（分米），井深就是36–4=32（分米）。 【解法3】利用分数知识来解答。把绳子长度当作“1”，则三折后的每段长度就是，四折后的每段长度就是。绳子的比多16–4=12（分米），则 绳子长度就是12=144（分米）， 井的深度就是（分米）。 练习十二 1、爸爸有钱比小明的3倍多63元，比小明的4倍少82元。爸爸有钱多少元？ 2、幼儿园阿姨到商店买苹果若干个,分给小班小朋友。每人分1个,剩余15个；每人分2个,还有5人没有分到。小班小朋友有多少人?阿姨买苹果多少个? 3、小军给朋友们分邮票，如果每人分8张，还多12张；如果每人分10张，就有一个朋友没分到。小军给多少个朋友分邮票？一共有多少张邮票？ 4、把