第11讲 平均问题 -小学数学解决问题专项训练

第十一讲 平均问题 平均问题是一种典型的应用问题, 常见的是已知若干个数的和以及组成和的数的个数, 求平均数是多少。解答这类问题, 用的是除法。但实际见到的平均问题, 就复杂得多了, 一般来讲, 仍然要通过各种途径,求出若干个数的和以及组成和的数的个数, 有时也要根据题中的条件, 采用割补、假设等方法和途径来解答。 例1 一辆汽车从甲地开往乙地，先是上坡，以每小时30千米的速度行驶了1.8小时，然后在平路上以每小时42千米的速度行驶了1小时，最后下坡，以每小时45千米的速度行驶了2小时并到达乙地。如果该车在返回时的上坡、平路、下坡按照原来的相应速度行驶，那么，该车在甲、乙两地往返一次的平均速度是每小时多少千米？ 【分析】解答此题，可以先计算出的上坡、平路、下坡的路程与总路程，因为返回时所走的上坡、平路、下坡路程与去时正好相反，所以，我们也可以求出返回时所用的时间，最后再计算出往返一次的平均速度。 【解】 去时上坡路程、平路路程和下坡的路程分别是： 30×1.8=54（千米），42×1=42（千米）和45×2=90（千米）. 故，甲、乙两地的全程为： 54+42+90=186（千米）. 再求该车返回时所用的时间： 54÷45+1+90÷30=1.2+1+3=5.2（小时）。 最后，该车在甲、乙两地往返一次的平均速度是186×2÷（1.8+1+2+5.2）=372÷10=37.2（千米）。 例2 在一次数学竞赛中，甲队的平均分为75分，乙队的平均分为73分，两队全体同学的平均分为73.5分。又知乙队比甲队多6人，那么，乙队有多少人？ 【分析】此题虽是平均类问题，但难以求出总和与总数，沿用一般的方法是难以解答的，这需要走别的途径。 【解法】采用割补的方法来解答。先将乙队比甲队多的6人与两队平均分相差的分数求出来，即（73.5-73）×6=0.5×6=3 (分)，这就是其余人多的分数。因为除了乙队比甲队多的6人外，其余甲、乙两队的人数是相等的，又甲、乙两队各1人得的分数比两队平均分的2倍多75+73-73.5×2=148-147=1（分）。 所以，甲队有3÷1=3（人），乙队有3+6=9（人）。 例3 小林沿同一条山路上、下山。他上山每小时行6千米，下山每小时行8千米。求小林上、下山的平均速度。 【分析】求平均速度，一般要知道所行的路程和所用的时间，用路程除以时间来得到。此题既无路程，也无时间，但根据上、下山的行程是相同的，可知上、下山的时间与速度成反比，可据此解答此题。 【解】通过假设上、下山的行程来解答。可把上、下山的行程假设成上、下山的速度6千米和8千米的公倍数，即24、48、96、……，若假设上、下山的行程为24千米，则上山用了24÷6=4（小时），下山用了24÷8=3（小时），上、下山的全部行程共24×2=48（千米），那上、下山的平均速度是每小时48÷（4+3）=48÷7=（千米）。 若把上、下山的行程假设成其他数字或字母，同样可以求出如上的平均速度。 例4 某学校举行入学考试，确定了录取分数线。报考的同学中，只有被录取，录取者的平均分比录取分数线高10分，没有录取的同学平均分比录取分数线低26分，所有考生的平均成绩是70分。录取分数线是多少分？ 【分析】结合图示，采用推导的方法来解答。 【解】根据“只有被录取”,可得未录取人数是录取人数的（1-）÷=÷=3倍. 据题意，录取者的平均分比没有录取的同学平均分高10+26=36（分）； 由“所有考生的平均成绩是70分”,可得没有录取的同学的平均分为70-36÷（1+3）=70-36÷4=61（分）（如下图）。 所以, 录取分数线是61+26=87（分）。 录取 61 9 9 9 9 未录取 61 9 例5 在一次数学竞赛中,实验小学获奖同学的总平均分为80分,其中获一等奖同学8名，他们的平均分为95分,获三等奖同学2名，他们的平均分为70分, 其余同学获二等奖，平均分为75分。该校在这次数学竞赛中获一、二、三等奖的同学一共有多少人? 【分析】此题已知平均分,而要求参赛获奖的总人数。关键是求出获得二等奖的人数。 【解】据题意,获一等奖的同学多于平均分的总分值： (95-80)×8=120(分). 获三等奖的同学少于平均分的总分值为： (80-70)×2=20(分). 故，获二等奖低于平均分的总分值为：120-20=100 (分). 从而可得二等奖的获奖人数为100÷(80-75)=20(人), 所以, 该校在这次数学竞赛中获一、二、三等奖的同学一共有8+20+2=30 (人) 。 例6 某校举行数学能力测试，按照学生的成绩划定A、B、C三等的分数线。在参加测试的学生中，有的