第07讲 分数和百分数基本问题-小学数学解决问题专项训练

第七讲 分数和百分数问题 分数和百分数是小学数学中的重点内容,也是难点内容之一， 教学中应当重视分数和百分数的基本问题的教学。 分数和百分数的基本问题主要有三类,第一类是求一个数是另一个数的几(百)分之几, 第二类是求一个数的几(百)分之几是多少,第三类是已知一个数的几(百)分之几是多少, 求这个数。解答分数和百分数的基本问题, 就要搞清楚这三类问题的区别和联系。当我们把分数、百分数都当着整数来看待时, 这三类问题和倍数中的三类问题是一致的，解答这三类问题的思路与解答倍数的三类问题也是一致的。第一类问题已知条件是两个数,求一个数是另一个数的几(百)分之几,用除法；第二类问题已知一个数,求它的几(百)分之几是多少,用乘法；第三类问题已知一个数的几(百)分之几是多少,求这个数,用除法。第三类问题与第二类问题又互为逆运算。 解答分数和百分数的三类基本问题, 关键是要找准标准数。所谓标准数, 就是作为题中其它数据参照的数,又称为“基数”,有时往往把它当着单位“1”。找标准数比较容易,但选好标准数也是有讲究的。相对来讲,解答具体问题时,一般要选择没有变动的数作为标准数。 例1 两个牧童放羊,甲对乙说：“如果你的羊给我5只,那么你的羊就是我的一半。”乙对甲说：“如果你的羊给我10只,你的羊就是我的。”两个牧童各有多少只羊? 【分析】这是一道比较复杂的分数基本问题,三类问题纠缠在一起, 且甲、乙说的话,都是把自己变化后羊的只数作为标准数的,按此解答,难度很大。但我们可以改变一下想法,即不论甲给乙几只羊,还是乙给甲几只羊,而甲、乙两人共有羊的只数是不变的,因此,可把甲、乙两人共有羊的总只数作为标准数。 【解】根据甲说的话,可知乙给甲5只羊后, 乙有羊的只数就相当于甲、乙两人共有羊的总只数的；再根据乙说的话,可知甲给乙10只羊后, 乙有羊的只数就相当于甲、乙两人共有羊的总只数的,而乙有羊的只数前后相差5+10=15 (只) ，这15只就相当于甲、乙两人共有羊的总只数的。由此就可看出，这属于分数基本问题中的第三类问题了,那甲、乙两人共有羊的总只数就是60(只)。那甲有羊35(只)或=25+10=35 (只)； 乙有羊60-35=25(只)。 答：甲有羊35只，乙有羊60-35=25只。 例2 有一堆糖果,其中奶糖占,再放入16块水果糖后, 奶糖就只占。这一堆糖果原来有多少块？ 【分析】据题意可知，前后奶糖的占比都是以糖果总数作为标准数的,而糖果的总数前后又是变化的。但前后奶糖块数没有变化,可以把奶糖块数作为标准数。 【解】由已知条件可得,原来这堆糖果的块数相当于奶糖块数的,而放入16块水果糖后,这堆糖果的块数相当于奶糖块数的倍,那后放入的16块水果糖,就相当于奶糖块数的,由此就可先求出奶糖的块数,这属于分数基本问题中的第三类问题,则奶糖的块数是1616 × 9 (块)。 所以,这一堆糖果原来有（块）。 例3 现在儿子的年龄是父亲的,过5年后,儿子的年龄是父亲的。父、子现在年龄各是多少岁？ 【分析】此题已知条件中都是以父亲年龄作为标准数的,而这标准数是变化着的,前后相差5岁,但此题中也有不变量,那就是父亲与儿子年龄的差是不变的。 【解】根据儿子现在的年龄是父亲的,可得儿子现在的年龄相当于父亲与儿子年龄差的；根据过5年后,儿子的年龄是父亲的,可得儿子5年后的年龄相当于父亲与儿子年龄差的。由此可得, 5岁就相当于父亲与儿子年龄差的,求父、子的年龄差,就属于分数基本问题中的第三类问题,则父、子的年龄差为5×6=30 (岁)。所以，父亲现在的年龄为=30×=35(岁),儿子现在的年龄为35-30=5(岁)或35×=5(岁)。 例4 山上有一棵桃树，上面结了很多桃子。小猴第一天吃了总数的，第二天吃了余下的，第三天吃了余下的，……第九天吃了第八天余下的后，树上还有10个桃子。问桃树上原来结有多少个桃子？ 【分析】此题每个分数指向的标准数都是在变化的。解答此题，可有两种途径。一是通过逐一算出小猴每天吃了总数的几分之几来解答，二是采用逆推的方法来解答。 【解法1】根据题意，可知第一天吃了总数的，第二天吃了总数的（1-）×=×=，第三天吃了总数的（1-×2）×=×=，……第九天吃了总数的（1-×8）×=×=，由此类推，九天中每天都吃了总数的, 所以桃树上原来结有10÷（1-×9）=10÷=100（个）桃子。 【解法2】 从最后树上剩下的10个桃子入手，逐一算出每天树上桃子的个数，直至算出桃子的总数。 10÷（1-）÷（1-）÷……÷（1-） =10×2××××…× =10×10=100（个）。 答：桃树上原来结有100个桃子。 分数和百分数基本问题中有些题目的标准数是要靠推理或推算得来的,这就需要更加周密的研判。 例5 一次数学竞赛都是