第06讲 排列和组合问题-小学数学解决问题专项训练

第六讲 排列和组合问题 排列和组合问题是高中数学内容之一,近些年来，小学数学教材中也引进一些这方面的内容,但没有涉及排列和组合的概念, 引进的是解题的思路和方法，即“简单列举法”。教学这些内容,要在对问题的分析和推理上下功夫，特别要注意有无“顺序”或者是否“分步”，思考要严密周全，既要防止重复，也要防止遗漏。 例1 19名乒乓球运动员分成三队，规定同队运动员不比赛，不同的队运动员两两比赛一场。那么，比赛的总场数最多是多少场？ 【分析】根据题意，同队运动员不比赛，不同的队运动员两两比赛一场，因此，两队运动员之间比赛的场数等于两队人数之积，总场数则是三组中两队队员人数之积的和。根据两数之和不变，两数最接近时的积最大的规律，可知要使总场数最多，则要使三队人数尽可能接近。 【解】 总数19人，就要按6人、6人、7人分为三队。所以,比赛的总场数最多为6×6+6×7+6×7=36+42+42=120（场）。 例2 如下图，把A、B、C、D、E 这五部分用四种不同的颜色着色，且相邻部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色。那么，这幅图一共有多少种不同的着色方法？ A B C D E 【分析】 可依次考虑A、B、C、D、E的着色种数。A共有4种颜色可供选择；当A选定一种颜色后，因B 与A相邻，所以B只有4-1=3（种）颜色可供选择；当A、B各选定一种颜色后，因C与A、B都相邻，所以，C只有4-1-1=2（种）颜色可供选择；对于D，因与B、C都相邻，当B、C各选定一色后，D只有4-1-1=2（种）颜色可供选择；对于E ，因与C、D 相邻，当C、D 各选定一色后，E也只有4-1-1=2（种）颜色可供选择。 【解】 这幅图一共有4×3×2×2×2=96（种）不同的着色方法。 例3 有长度分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的小棒各一根，从中选出几根小棒摆出边长是10的正方形，有多少种选法？ 【分析】考虑能凑成长度为10的情况有9种,即1+9=2+8=3+7=4+6=10=1+2+7=1+3+6=2+3+5=1+2+3+4。前5组可以组成，后4组不可以。 【解】先根据有无重复的小棒来考虑,在 1+9=2+8=3+7=4+6=10=1+2+7=1+3+6=2+3+5=1+2+3+4的前5种组合的小棒没有重复,故可组成5种不同组合的正方形, 再考虑剩余的四种组成10的小棒是否能替换上面五种类型中哪一种, 即1+2+7, 1+3+6和1+2+3+4不能替换, 2+3+5既能替换10、1+9、2+8、4+6（这组）中的2+8, 又能替换10、1+9、3+7、4+6（这组）中的3+7,由此可形成2种新的不同组合的正方形。综上可得,共有5+2=7(种)不同的选法。 例4 有一个由9个小正方形组成的大正方形，将其中两个涂黑，有多少种不同的涂法？（如果几个涂法能够由旋转而重合，这几种涂法只能看作是一种。） 【分析】根据题意, 为了表述方便, 可将9个小正方形分别标上①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨，见右图。 ① ② ③ 考虑两个涂黑,又要考虑“如果几个涂 ④ ⑤ ⑥ 法能够由旋转而重合，这几种涂法只能看 ⑦ ⑧ ⑨ 作是一种”的要求，再根据大正方形由9个小正方形组成的图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的特点，可知这9个小正方形中除中间一个小正方形处在中心点位置上，其余8个小正方形可分为性质相同的两大类，即处在四角的4个小正方形和处在边线中点位置上的4个小正方形，因此考虑有多少种不同的涂法，只要考虑一个处在四角的小正方形与对称轴一边（含对称轴）的小正方形能否组合和一个处在边线中点位置上的小正方形与对称轴一边（含对称轴）的小正方形能否组合即可。 【解】如考虑处在四角的小正方形①与对称轴左下方（含对称轴）的小正方形组合时， 则有5种,即 ①、④，①、⑤，①、⑦，①、⑧，①、⑨，再考虑处在边线中点位置上的小正方形②与对称轴左边（含对称轴）的小正方形组合时,也有5种,即②、①，②、④，②、⑤，②、⑦，②、⑧。所以, 涂法共有5+5=10(种)。 例5 甲、乙、丙、丁四位同学进行围棋比赛。每人都要赛一场。结果甲胜了丁, 甲、乙和丙胜的场数一样多。你知道丁胜了几场吗? 【析解】 采用分析法, 根据4人每人都要赛一场,可得一共要赛3+2+1=6(场)。根据甲、乙和丙胜的场数一样多, 则有两种可能 ,即甲、乙和丙三人各胜1场或2场。若甲、乙和丙三人各胜1场, 那丁3场全胜, 这与已知条件中甲胜了丁相矛盾。若甲、乙和丙三人各胜2场, 由于6-2×3=6-6=0, 所以, 丁未胜1场。 例