第04讲 整除、约数和倍数问题-小学数学解决问题专项训练

第四讲 整除、约数和倍数问题 整除、约数和倍数是小学数学中的重要内容,它阐述整数的性质及其相互关系,有利于进一步深化学生对整数的认识。解答这类问题,首先要对整除、约数和倍数的概念有个清晰的了解,然后才能联系实际探索解答此类问题的规律,从而提高解答此类问题的能力。 一、整除问题 小学数学中的整除问题除了关于整除的概念外,主要涉及到能被2、3、4、5、6、7、11等整除的整数的特点以及数的整除知识应用等问题。理解整除的概念，要与“除尽”相区别。 例1 五位数3A6B5能被75整除，这个五位数是多少？ 【分析】解答此题,首先要搞清能被75整除数的特点。一个数能被75整除，就是说这个数既能被3整除，又能被25整除。根据被25整除的数的特征，这五位数的末两位数应是25的倍数，已知这五位数的个位数字是5，那么，十位数字B 只能是2或7。 【分析】当B=2时，要使这个五位数能被3整除，那么5+2+6+3+ A=16+ A的和一定要是3的倍数。因A是小于10的自然数，所以，是3倍数的这个和可以是18，21，24三个数，那么，A=2，5或8； 当B=7时，要使这个五位数能被3整除，那么5+7+6+3+ A =21+A的和一定要是3的倍数。因A是小于10的自然数，所以，是3倍数的这个和可以是21，24，27，30四个数，那么,A=0，3，6或9。 综上可得，符合条件的五位数应是32625，35625，38625，30675，33675，36675和39675七个。 例2 六位数A1994B能被44整除，这个六位数是多少？ 【分析】 首先要搞清能被44整除的数的特点。一个数能被44整除，就要求这个数既能被4整除，又能被11整除。一个数能被4整除，就要求这个数的末两位能被4整除。对于六位数A1994B要能被4整除，就要求B=0，4或8这三个数。 【解】当B=0时，这个六位数奇数位上的数字和减去偶数位上的数字和得到的差，即A+9+4-1-9-0= A+3应是11的倍数。因A是小于10的自然数，所以当A=8时，这个六位数才能被44整除； 当B=4时，这个六位数奇数位上的数字和减去偶数位上的数字和得到的差，即A+9+4-1-9-4= A-1应是11的倍数。因A是小于10的自然数，所以当A=1时，这个六位数才能被44整除； 当B=8时，这个六位数奇数位上的数字和减去偶数位上的数字和得到的差，即A+9+4-1-9-8= A-5应是11的倍数。因A是小于10的自然数，所以当A=5时，这个六位数才能被44整除。 综上可得，六位数A1994B要能被44整除，这个六位数应是819940，119944和519948三个。 例3 有2000盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着。现按其顺序编号为1,2, 3,…，2000。然后将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后，将编号为5的倍数的灯线拉一下。三次拉完后，亮着的灯有多少盏？ 【分析】原来亮着的灯拉一次熄灭，拉两次亮着，拉三次熄灭。由此可分析出三次拉完灯亮的盏数。 【解】灯的编号能被2整除的有2000÷2=1000盏， 灯的编号能被3整除的有2000÷3=666盏， 灯的编号能被5整除的有2000÷5=400盏， 灯的编号同时能被2、3整除的有2000÷6=333盏， 灯的编号同时能被2、5整除的有2000÷10=200盏， 灯的编号同时能被3、5整除的有2000÷15=133盏， 灯的编号同时能被2、3、5整除的有2000÷（2×3×5）] = 66盏 故最终亮着的灯有： 2000-1000-666-400+333+200+133-66 =534（盏）. 答：三次拉完后，亮着的灯还有534盏。 例4 将一个三位数连写两遍，得到一个六位数。这个六位数一定能被7、11和13整除吗？为什么？ 【解】假设三位数为，则将这个三位数连写两遍得到的六位数是。 =×1000+=×1001，因为1001=7×11×13，所以，六位数一定能被7、11和13整除。 一个由几个数连乘得到的积中，有任一个因数能被一个或几个数整除，那么这个积也一定能被这同一个数或几个数整除。这是整除运算中一条重要的规律，会经常用到的。 二、约数问题 学习约数,必须先要学习质数和合数的知识。质数又称素数,是指只能被1和本身整除的整数；合数是除1和本身以外,还能被其它数整除的整数；1既不是质数,也不是合数。根据质数和合数的定义可知,平方数的约数个数是奇数,非平方数的约数个数是偶数。解答约数有关问题,也要用到整除的知识。 例1 a，b，c都是100以内的质数，满足a+b=c的质数有多少组？ 【分析】 100以内的质数有： 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，7