第03讲 简便计算问题 -小学数学解决问题专项训练

第三讲 简便运算问题 小学数学四则运算,有一种特殊的问题,即简便计算问题。所谓简便计算问题,就是要求运用四则运算的定律、性质、公式以及重组、替换等方法,使复杂的计算变得简单。 一、利用四则运算的定律、性质进行简便计算。 四则运算的定律主要有加法交换律、结合律,乘法交换律、结合律和分配律。四则运算的性质有多条,诸如一个数减去两个数的和(或差), 等于这个数连续减去这两个数(或减去被减数,加上减数)；一个数除以两个数的积(或商)等于这个数连续除以这两个数(或除以被除数,乘除数) ；一个数除两个数的和(或差),等于这个数分别除这两个数所得商的和(或差)等等。运用这些定律和性质,可以使一些复杂的计算变得简单。 例 运用四则运算的定律、性质简便计算下面各题。 （1)1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-...+1993 （2)55555×666667+44445×666666-155555 （3) 39×+148×+148÷ （4)（0. 37×2400×0. 25+3×8.75+28.25÷）÷ （5） 【分析】(1) 可考虑每四个数结合成一组,由1993÷4=498......1,可知分成498组余一个数。 从前面开始分组，分了498组后，还余1993这个数，又知每组数的计算结果都是一样的。 【解】原式=1993-（3+4-1-2）×498=1993-4×498=1993-1992=1。 注：此题也可以这样分组：把“1”放在一边，从“2”开始每四个数分在一组，正好可分为（1993-1）÷4=1992÷4=498（组），每组的结果是2-3-4+5=0，所以此式等于1+0×498=1。 【分析】(2) 通过观察, 前两个乘式的数有着明显的联系,即两式第一个乘数的和为100000,两式第二个乘数相差1,由此可找出简便计算的途径来。 【解】原式=666666×(55555+44445)+ 55555×1-155555 =666666×100000-100000 =100000×(666666-1) =100000×666665 =66666500000。 【分析】(3) 通过观察,三个乘除式有很多相同的数字,如两个分母、一个分子都是149,一个分子、一个因数和一个被除数都是148,那通过变换, 即可找到公因数,简便途径也就找到了。 【解】原式=39×+86×+24×=×(39+86+24) =×149=148。 【分析】(4) 通过观察,可知括号里三个乘除算式都可以变换成为含有公因数3的乘法算式,这样就可进行简便计算了。 【解】原式=(37×2×3+8.75×3+28.25×3)× =3×(74+8.75+28.25)×=3×3×37×=37×11=407。 【分析】（5） 总体看，是两个式子相减，就前一个式子来看，是一个数除以两个数的商，若把括号里的除数变成假分数，那括号里被除数和除数的分母和分子分别为25和5，与第一个数分母125有公因数，可以化简；再看后一个式子，是两个数的和除以一个数，这个式子中组成和的两个分数的分母与除数的分母有公因数，也可以化简。由此就可按照这样的思路通过变形，再利用除法的性质进行简便计算。 【解】原式=- = 。 【小结】观察是解答数学问题经常用到的一种最基本的方法。观察要细致、深入。上面例题结构，不是一下子就能看出能否运用四则运算定律和性质，而是要通过仔细观察结构特点，找出并利用共同点，进行变形，使其达到能使用四则运算定律和性质的程度。 二、利用公式进行简便计算。 小学数学计算中可以引用的公式主要有平方差公式与和(差)平方公式,可以使计算得以简便。 例 简便计算下面各题。 (1)12345678912-1234567890×1234567892 (2) 【分析】(1) 通过观察,可知乘式中两个乘数分别是第一个平方底数与1的和与差,由此可以运用平方差公式使计算得以简便。 【解】原式=12345678912-（1234567891-1）×（1234567891+1） =12345678912-12345678912+1=1。 【分析】上面(2)通过观察, 可将加上的数改写成,这样就可利用和平方公式使计算得以简便。 【解】法1：原式= = ==。 此题也可这样简便,即： 法2：原式= = = ==。 法3：原式= = = == =。 三、运用重组、替换等方法进行简便计算。 小学中还可以运用重组、替换等方法,恒等变换原来的式子,从而使计算变得简便。 例 简便计算下面各题。 (1)41+51+61 (2)9 (3) (4) (5)1998×+11×-2009×+3 【分析】(1)将每个乘式中的带分数改写成一个整数加上一个假分数,就能使运算简便得多。 【解】