2023届高考数学二轮专题复习试题：复数复习讲义

复数复习 1 复数的定义 1） 概念：设为方程的根，称为虚数单位，由与实数进行加、减、乘、除运算，便产生形如()的数叫做复数，全体复数所成的集合叫做复数集。复数通常用字母表示，即()，其中称作实部，称为虚部，()称为代数形式，它是由实部、虚部和虚数单位三部分组成. 2）虚数单位的性质 叫做虚数单位，并规定： 1）可与实数进行四则运算； 2）；这样方程就有解了，解为或 3）复数的定义要注意以下几点： ()被称为复数的代数形式，其中表示与虚数单位相乘 数的实部和虚部都是实数，否则不是代数形式 4）复数与相等，当且仅当，记作. 2 复数的分类： 3 复数的几何意义 相等的向量表示同一个复数 复数与复平面内的点及平面向量是一一对应关系 （复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量） 4 复数的模 向量的模叫做复数的模，记作或， 模的几何意义：表示点到原点的距离，即， 若，，则表示到的距离，即 例如：表示点Z1到点的距离；表示以为圆心，为半径的圆的方程； 5. 共轭复数：若()，则称为的共轭复数. 计算性质： (1) (2) (3)(4) (5) (6)(7)(8)(9)若则. 6.复数的运算 (1)加法运算： (2)乘法运算： (3)减法运算：给定两个复数，满足条件的复数叫做复数减去的差，记作. (4)除法运算： 7.实系数方程虚根成对定理：实系数一元次方程的虚根成对出现，即若是方程的一个根，则也是一个根. 巩固练习： 1．已知复数，则它的共轭复数（ ）A． B． C． D． 2．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．欧拉恒等式：被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”．该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数、圆周率、虚数单位、自然数1和0完美地结合在一起，它是在欧拉公式：中，令得到的．根据欧拉公式，复平面内对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式】（多选题）欧拉公式其中为虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位．依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A． B．为纯虚数 C．复数的模长等于1 D．的共轭复数为 4.如图，在复平面内，复数对应的向量分别是，则复数对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5.已知是关于的方程的根，且则实数（ ） A． B． C．5 D． 【变式】若是关于的实系数方程的一个复数根，则______. 6.若复数满足，则复数对应的点的轨迹围成图形的面积等于（ ） A． B． C． D． 【变式1】已知复数z1，z2满足|z1|=1，|z2|=5，则|z1-z2|的最小值是________． 【变式2】复数，，则的最大值是_____. 【变式3】18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，也即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点的距离．已知复数z满足，i为虚数单位，则的最小值为________． 【变式4】若且，则最大值是_______________. 7．设，是方程在复数范围内的两个解，则（       ） A． B． C． D． 8．方程在复数集内解的个数为（       ） A． B． C． D． 9．“”是“实系数一元二次方程有虚根”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．设、，若（为虚数单位）是一元二次方程的一个虚根，则（       ） A．， B．， C．， D．， 11．（多选）若复数满足（为虚数单位），则下列结论正确的是（       ） A． B． C．的共轭复数 D．是方程的一个根 12．（多选）已知为虚数单位，，，则下列选项中正确的有（       ） A． B．的虚部为1 C．在复数范围内，为方程的根 D． 13. 已知是虚数单位，复数，则__________. 14.已知复数为纯虚数，则实数______. 15．已知为虚数单位，复数满足，则复数z的虚部为______. 16. 关于复数的方程有实数解，则的值为______. 17． 已知复数. （1）求； （2）计算：……． 18．已知复数． （1）求的共轭复数； （2）若复数，求在复平面内对应的点的坐标． 19．已知复数（为虚数单位）. （1）若，求复数的共轭复数； （2）若