2023届高考数学二轮专题复习讲义：导数应用——指、对跨阶同构

导数应用——指、对跨阶同构 近年来同构函数频频出现在高考试卷中，导数综合题还会出现形如：这类跨阶函数 ，研究跨阶同构函数要注意以下几个关键环节： 1. 整理，把指数、对数各一边，参数是关键，凑形是难点； 2. 变形，为了实现不等式两边结构相同的目的，要常对指数式进行“改头换面”， 3. 积型：同构,三种同构途径: ①同左:,构造函数; ②同右:,构造函数; ③取对数:,构造函数. 4.商型 (或)同构,三种同构途径: ①同左: (或),构造函数(或); ②同右: (或),构造函数(或); ③取对数: (或),构造函数(或). 5.和差型同构,两种同构途径: ①同左:,构造函数; ②同右:,构造函数. 例1.(2021·湖北省八市联考) 设实数，若不等式对恒成立，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 选题意图: 同构思想可快速解决恒成立问题，使问题得到最大限度的简化.对于含有指数函数和对数函数的混合型不等式，通过指对互化，将不等式左右两边化为结构完全相同的式子，例1含参，不等式需要进行配凑才能满足积型结构. 思维引导：不等式的结构较为常规，变形为,容易联想到不等式两边同乘以，构造函数，利用函数单调性得出与的不等关系. 【解析】不等式对恒成立， 即不等式对恒成立， 即不等式对恒成立， 令， 则即为， ，  当时，，在上单调递增， ，， 对于函数，， 由得，由得， 则在上单调递增，在上单调递减， ，，即． 故选：． 2. (2022·福建省莆田市月考) 对于任意实数，不等式恒成立，则的取值范围是          ． 【解析】不等式恒成立等价于， 即， 即， 当时，上述不等式恒成立， 当时，可得， 设，易得在上单调递增， 即， 得，即在上恒成立， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 易得， 当时，只需即可，即； 当时，只需，整理可得，显然恒成立， 所以； 综上可得，所以的取值范围是． 故答案为． 3.(2022·云南省昆明市模拟) 已知函数． 求函数的极值 若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【解析】由题意得：，， 所以， 令，解得， 当时，当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以有极小值，为， 无极大值． 由已知得，对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令，则对任意恒成立， 下证：对任意恒成立， 令， 则在上恒成立，且仅当时取“=”． 所以在上单调递减，， 即， 所以对任意恒成立，只需在上单调递增， 即在上恒成立， 即在上恒成立， 所以，即的取值范围为． 【规律方法】 解决指对混合不等式时,常规的方法计算复杂将不等式变形为的结构,即为外层函数,其单调性易于研究.常见变形方式: . 积型同构,三种同构途径: ①同左:,构造函数; ②同右:,构造函数; ③取对数:,构造函数. 4.(2022·广东省联考) 若对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是          ． 【解析】由已知可得． ⑴当时，，不等式恒成立； ⑵当时，即． 设，则， 当时，，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为，，所以，， 故原不等式等价于，即，即在上恒成立． 令，则， 所以在上单调递增， 故即． 综上所述，实数的取值范围是 ． 5.( 2021·黑龙江省哈尔滨市模拟) 已知关于的不等式在恒成立，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 选题意图：指数和对数混合的导数题，直接使用同构的题目不多，多数情况下需要配凑出同构的形式，本题出现，容易联想到配凑出，利用和差型同构. 思维引导：不等式的结构容易联想到和差型结构，配凑出，利用和差型同构的思路构造函数，研究单调性. 【解析】由得， 即， 令，，则，故在单调递增， 若，则在恒成立， 记，则在上恒成立，即， 因为，则当时，当时， 故在上单调递减，在上单调递增， 故 所以，即，解得， 所以的取值范围是． 故选：． 6.(2022·辽宁省朝阳市联考) 已知函数，，． 讨论函数的单调性 设函数，若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 选题意图：该题恒成立的不等式中出现与相乘的结构，对不等式的变形要使两者分开，考验“眼力”转化为商型结构. 思维引导：第（2）问中，不等式两边同除以，再利用对数运算合并，转化为，构造函数，研究单调性得出与的不等关系. 【解析】因为，所以， 令，则， 当时，，函数单调递减 当时，，函数单调递增， 所以． 又因为，，所以，则在定义域上单调递增． 由，得，即， 所以，即对任意恒成立． 设，则． 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 且当时，当时，， 若，则， 若，因为，且在上单调递增，则可得． 综上可知，对任意恒成立，即对任意恒成立． 设，， 则，所以在上单调递增，则， 所以对任意恒成立， 即实数的取值