精品解析：上海市上海师范大学附属中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题

上师大附中高二期中考试数学试卷 2023.04 一.填空题（本大题共有12题，满分54分，其中第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1. 过点，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是______. 2. 已知直线与平行，则实数的值为_____________. 3. 设两圆与圆公共弦所在的直线方程为_______ 4. 若为椭圆上的点，为椭圆的左右焦点，则的周长_________ ． 5. 已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的实轴长为____． 6. 已知直线经过点，且与圆相切，则直线的方程为_____． 7. 若圆上有且只有两点到直线的距离为2，则圆的半径的取值范围是_____． 8. 著名的天文学家、数学家开普勒发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定律，即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳中心处在椭圆的一个焦点上.记地球绕太阳运动的轨道为椭圆，在地球绕太阳运动的过程中，若地球轨道与太阳中心的最远距离与最近距离之比为，则的离心率为______ 9. 若直线过抛物线的焦点，交抛物线于两点，则____． 10. 已知点P在抛物线上，P到的距离是，P到的距离是，则的最小值为______. 11. 若实数满足，则点到直线的距离的取值范围是______. 12. 如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的交点，若，则与的离心率之积的最小值为______. 二.选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分） 13. “且”是“表示圆的方程”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 14. 直线关于直线对称的直线方程为（ ） A. B. C. D. 15. 已知，则双曲线与的（ ） A. 实轴长相等 B. 虚轴长相等 C. 焦距相等 D. 离心率相等 16. 定义曲线：为椭圆：“倒曲线”，给出以下三个结论：①曲线有对称轴，②曲线有对称中心，③曲线与椭圆有公共点．其中正确的结论个数为（ ） A. B. C. D. 三.解答题（本大题共5题，满分78分，解答下列各题必须写出必要的步骤）. 17. 已知直线和交点为P. （1）求直线与的夹角的大小； （2）若直线l过点P，且与两坐标轴正半轴所围成的三角形面积为32，求直线l的方程. 18. 已知直线，椭圆. （1）证明：直线l与椭圆C恒有两个交点； （2）已知点，若P是椭圆C上任意一点，求的取值范围. 19. 某团队开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图所示，A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒，其中（单位：米/秒）是信号传播的速度. （1）以O为原点，以OB方向为x轴正方向，且以米为单位建立平面直角坐标系，设机器鼠所在位置为点P，求点P轨迹方程； （2）若游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过2米的区域运动时，有“被抓”的风险.如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？ 20. 已知抛物线焦点为，抛物线上存在不同两点A､B（异于原点O）. （1）求抛物线的方程； （2）若直线AB的倾斜角为且抛物线焦点F到直线AB的距离不小于1，求直线AB在y轴上的截距n的取值范围； （3）若点A､B､F三点共线，求的取值范围. 21. 已知、分别为椭圆的左、右焦点，M为上的一点. （1）若点M的坐标为，求的面积； （2）若点M的坐标为，且直线与交于不同的两点A、B，求证：为定值，并求出该定值； （3）如图，设点M的坐标为，过坐标原点O作圆（其中r为定值，且）的两条切线，分别交于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为，.如果为定值，求的取值范围，以及取得最大值时圆M的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上师大附中高二期中考试数学试卷 2023.04 一.填空题（本大题共有12题，满分54分，其中第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1. 过点，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是______. 【答案】 【解析】 【分析】设出抛物线方程，利用待定系数法求解即可. 【详解】设方程为，则有，解得，即有， 所以过点且焦点在y轴上的抛物线的标准方程为. 故答案为： 2. 已知直线与平行，则实数的值为_____________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据平行线的性质进行求解即可. 【详解】因为直线与平行， 所以有：或， 故答案为：或 3. 设两圆与圆的公共弦所在的直线方程为_______ 【答案】 【解析】 【分析】利用两圆的方程相减即可求解. 【详解】因为圆，圆，