2023年中考数学二轮半角模型（角含半角模型）

半角模型（角含半角模型） 资料编号:202305150619 模型介绍 如图1,,连结BF,将△OBF绕点O旋转至△的位置,如图2所示,连结EF、,则有: △OEF≌△. 模型证明 证明:∵ ∴ 由旋转可知:△OBF≌△ ∴ ∴ ∴ 在△OEF和△中 ∵ ∴△OEF≌△（SAS）. 模型说明 （1）半角模型的命名:存在两个角度是一半关系,并且这两个角共顶点,大角的两边相等;半角模型又称角含半角模型; （2）常见的半角模型是含、含; （3）半角模型的结论往往是证明线段之间的和差关系,通过先旋转全等再轴对称全等解决问题; （4）面对比较复杂的几何图形,我们要会识别出半角模型并用模型的知识解决问题. 模型推论 （1）含半角模型常见于正方形和等腰直角三角形中. 如图3,在正方形ABCD中,点E、F分别在BC、CD边上,且,连结EF,则有: . 图4是证明用图. 如图5,△ABC中,,则有: . 图6是证明用图. （2）含半角模型常见于有一个内角是的菱形中. 如图7所示,在菱形ABCD中,,点P在BC边上,点Q在CD边上,且,则有: △APQ是等边三角形. 图8是证明用图. 此外,含半角模型还见于等边三角形中. 如图9,△ABC是等边三角形,点D是△ABC外一点,且, ,DE、DF分别交AB、AC于点E、F,则有: . 图10是证明用图. 模型推论的证明 我们以例题的形式展开. 例1. 如图3,在正方形ABCD中,点E、F分别在BC、CD边上,且,连结EF. 求证:. 证明:延长CB至点G,使,连结AG,如图4所示. ∵四边形ABCD是正方形 ∴ ∴ 在△ADF和△ABG中 ∵ ∴△ADF≌△ABG（SAS） ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在△AEF和△AEG中 ∵ ∴△AEF≌△AEG（SAS） ∴ ∵ ∴. 证法二（旋转法）: 将△ADF以点A为旋转中心,按顺时针方向旋转后得到△ABG,如图4所示. 由旋转的性质可知:△ADF≌△ABG ∴, ∵ ∴E、B、G三点共线 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在△AEF和△AEG中 ∵ ∴△AEF≌△AEG（SAS） ∴ ∵ ∴. 点评 （1）在用“旋转法”证明时,必须证明E、B、G三点共线,证明即可. （2）如图11所示,连结BD,交AE于点G,交AF于点H,则有,证明见后面的例题2; （3）如图12所示,作,则有,证明见后面的例题5. 例2. 如图5,△ABC中,. 求证:. 证明:过点B作,使,连结AG、EG,如图6所示. ∵ ∴ ∴ ∴ 在△ACF和△ABG中 ∵ ∴△ACF≌△ABG（SAS） ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在△AEF和△AEG中 ∵ ∴△AEF≌△AEG（SAS） ∴ 在Rt△BGE中,由勾股定理得: ∴. 证法二（旋转法）: 将△ACF以点A为旋转中心,按顺时针方向旋转后得到△ABG,如图6所示. 由旋转的性质可知:△ACF≌△ABG ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在△AEF和△AEG中 ∵ ∴△AEF≌△AEG（SAS） ∴ 在Rt△BGE中,由勾股定理得: ∴. 证法三（翻折法）: 将△ABE沿AE翻折得到△,将△ACF沿AF翻折得到△,如图13所示. ∴, ∵ ∴ ∴ ∴点重合, 在Rt△中,由勾股定理得: ∴. 例3. 如图7所示,在菱形ABCD中,,点P在BC边上,点Q在CD边上,且. 求证:△APQ是等边三角形. 证明:连结AC,如图8所示. ∵四边形ABCD是菱形 ∴, ∴△ABC是等边三角形 ∴ ∵ ∴ 在△ABP和△ACQ中 ∵ ∴△ABP≌△ACQ（ASA） ∴ ∵ ∴△APQ是等边三角形. 例4. 如图9,△ABC是等边三角形,点D是 △ABC外一点,且, ,DE、DF分别交AB、AC于 点E、F. 求证:. 证明:延长AC至点G,使,如图10 所示. ∵ ∴ ∵△ABC是等边三角形 ∴ ∴ ∴ 在△BDE和△CDG中 ∵ ∴△BDE≌△CDG（SAS） ∴ ∵ ∴ ∴ 在△DEF和△DGF中 ∵ ∴△DEF≌△DGF（SAS） ∴ ∵ ∴. 例5. 如图14,已知在正方形ABCD中,,它的两边分别交BC、CD于点M、N. （1）求证:; （2）作于点H,求证:. 证明:（1）如图15所示,证明过程略,可参见例1的证法; （2）由（1）可知:△AEM≌△ANM ∴ ∴ ∴. 点评 由上面的证明过程,我们不难得到,在图14中,有: . 例6. 如图16,在正方形ABCD中,点M在CB的延长线上,点N在DC的延长线上,. 求证:. 证明:在DC上截取,连结AE,如图17所示. ∵四边形ABCD是正方形 ∴ ∴ 在△ABM和△ADE中 ∵ ∴△ABM≌△ADE（SAS） ∴ ∵ ∴ ∴ ∴