培优专题02 四边形压轴题综合-【查漏补缺】2023年中考数学三轮冲刺过关

培优专题02 四边形压轴题综合 本考点是中考五星高频考点，难度中等及中等偏上，在全国各地市的中考试卷中都有考查。 （2022年攀枝花中考试卷第16题）如图，以△ABC的三边为边在BC上方分别作等边△ACD、△ABE、△BCF．且点A在△BCF内部．给出以下结论：①四边形ADFE是平行四边形；②当∠BAC＝150°时，四边形ADFE是矩形；③当AB＝AC时，四边形ADFE是菱形；④当AB＝AC，且∠BAC＝150°时，四边形ADFE是正方形．其中正确结论有 　 　（填上所有正确结论的序号）． 【考点】正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质．版权所有 【分析】①利用SAS证明△EFB≌△ACB，得出EF＝AC＝AD；同理由△CDF≌△CAB，得DF＝AB＝AE；根据两边分别相等的四边形是平行四边形得出四边形ADFE是平行四边形，即可判断结论①正确； ②当∠BAC＝150°时，求出∠EAD＝90°，根据有一个角是90°的平行四边形是矩形即可判断结论②正确； ③先证明AE＝AD，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可判断结论③正确； ④根据正方形的判定：既是菱形，又是矩形的四边形是正方形即可判断结论④正确． 【解答】解：①∵△ABE、△CBF是等边三角形， ∴BE＝AB，BF＝CB，∠EBA＝∠FBC＝60°； ∴∠EBF＝∠ABC＝60°﹣∠ABF； ∴△EFB≌△ACB（SAS）； ∴EF＝AC＝AD； 同理由△CDF≌△CAB，得DF＝AB＝AE； 由AE＝DF，AD＝EF即可得出四边形ADFE是平行四边形，故结论①正确； ②当∠BAC＝150°时，∠EAD＝360°﹣∠BAE﹣∠BAC﹣∠CAD＝360°﹣60°﹣150°﹣60°＝90°， 由①知四边形AEFD是平行四边形， ∴平行四边形ADFE是矩形，故结论②正确； ③由①知AB＝AE，AC＝AD，四边形AEFD是平行四边形， ∴当AB＝AC时，AE＝AD， ∴平行四边形AEFD是菱形，故结论③正确； ④综合②③的结论知：当AB＝AC，且∠BAC＝150°时，四边形AEFD既是菱形，又是矩形， ∴四边形AEFD是正方形，故结论④正确． 故答案为：①②③④． 【点评】本题考查了平行四边形及矩形、菱形、正方形的判定，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握特殊四边形的判定方法和性质是解答此题的关键． 特殊四边形综合题是中考数学中的一大重点，也是一大难点。 本考点是中考五星高频考点，难度中等或较大，个别还会以压轴题出现，在全国各地市的中考试卷中均有考查。 正方形常见模型： ①正方形的“十字架”模型A B C D H G E F 如图，正方形ABCD中，E、F在其左右两对边上，G、H在其上下两对边上. 若有EF⊥GH，则必有EF=GH. 证明方法：构造全等； 逆向应用：见“十字架”想直角三角形全等 ②正方形中的“三垂定理”模型 如图，已知正方形ABCD，过点B、D两点分别向过点C的直线作垂线，垂足分别为E、F，则有△BCE≌△CDF ③正方形半角模型 条件：①正方形ABCD，②∠EAF=45° 结论： ①EF=BE+DF；(△CEF的周长=正方形ABCD周长的一半） ②EA平分∠BEF ③FA平分∠DAE 条件：①正方形ABCD；②∠EAF=45° 结论：EF=DF-BE ☆：当∠EAF旋转到正方形ABCD外部时，则有： 【中考真题练】 1．（2022•德州）如图，正方形ABCD的边长为6，点E在BC上，CE＝2．点M是对角线BD上的一个动点，则EM+CM的最小值是（　　） A． B． C． D． 2．（2022•重庆）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E、F分别为AC、BD上一点，且OE＝OF，连接AF，BE，EF．若∠AFE＝25°，则∠CBE的度数为（　　） A．50° B．55° C．65° D．70° 3．（2022•湖北）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论： ①四边形AECF是菱形； ②∠AFB＝2∠ACB； ③AC•EF＝CF•CD； ④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF． 其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（2022•随州）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为BC，CD的中点，AP⊥EF分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DO的中点，连接MP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．则在剪开之前