专题11 常见的非线性回归分析策略-备战2023年高考数学复习扫盲微专题系列

专题 ----- 常见的非线性回归分析策略 【专题导航】 两个相关变量可能是线性相关关系，其回归方程是；当两个相关变量可不是线性相关关系时，称之为非线性相关，其回归方程就不是一次函数结构，而是其他函数结构。非线性回归广泛存在，需要如何分析和研究呢？在教学过程中，这个点位常显得比较凌乱，本专题作系统梳理，以飨同仁们教学参考，亦可作为高三学生备考资源。 题型一 指数函数型非线性回归 罗师导航 指数函数型非线性回归需作线性变换转化为线性回归方程分析，常见的变换表如下; 变换前变量函数关系 两边取对数变换公式 变换后的线性函数关系 底数不同时，方法类比 【例1-1】某池塘中水生植物的覆盖水塘面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合与的关系，设，与的数据如表格所示： 3 4 6 7 2.5 3 4 5.9 得到与的线性回归方程，则___________. 【例1-2】数据显示中国车载音乐已步入快速发展期，随着车载音乐的商业化模式进一步完善，市场将持续扩大，下表为2018—2022年中国车载音乐市场规模（单位：十亿元），其中年份2018—2022对应的代码分别为1—5． 年份代码x 1 2 3 4 5 车载音乐市场规模y 2.8 3.9 7.3 12.0 17.0 (1)由上表数据知，可用指数函数模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（a，b的值精确到0.1）； (2)综合考虑2023年及2024年的经济环境及疫情等因素，某预测公司根据上述数据求得y关于x的回归方程后，通过修正，把b-1.3作为2023年与2024年这两年的年平均增长率，请根据2022年中国车载音乐市场规模及修正后的年平均增长率预测2024年的中国车载音乐市场规模． 参考数据： 1.94 33.82 1.7 1.6 其中，． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为． 【例1-3】某生产制造企业统计了近10年的年利润（千万元）与每年投入的某种材料费用（十万元）的相关数据，作出如下散点图： 选取函数作为每年该材料费用和年利润的回归模型.若令，则，得到相关数据如表所示： 31.5 15 15 49.5 (1)求出与的回归方程； (2)计划明年年利润额突破1亿，则该种材料应至少投入多少费用？（结果保留到万元）参考数据：. 【能力达标训练】 【1-1】用模型拟合一组数据组，其中；设，得变换后的线性回归方程为，则（    ） A． B．70 C． D．35 【1-2】某个国家某种病毒传播的中期感染人数y和天数x的散点图如图所示，下列最适宜作为感染人数y和天数x的经验回归方程类型的是（    ） A． B． C． D． 【1-3】云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模y与年份代码x的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设，得到数据统计表如下： 年份 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 年份代码x 1 2 3 4 5 云计算市场规模y/千万元 7.4 11 20 36.6 66.7 2 2.4 3 3.6 4 由上表可得经验回归方程，则2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为（    ） A． B． C． D． 【1-4】用模型拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，若通过这样的变换后，所得到经验回归方程为，则a的值为—————— 【1-5】若以模型拟合该组数据，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则a，h的估计值分别为—————— 【1-6】随着全球新能源汽车市场蓬勃增长，在政策推动下，中国新能源汽车企业在10余年间实现了“弯道超车”，一跃成为新能源汽车产量连续7年居世界第一的全球新能源汽车强国．某新能源汽车企业基于领先技术的支持，改进并生产纯电动车、插电混合式电动车、氢燃料电池车三种车型，生产效益在短期内逐月攀升，该企业在1月份至6月份的生产利润y（单位，百万元）关于月份的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图． 月份 1 2 3 4 5 6 收入（百万元） 6.8 8.6 16.1 19.6 28.1 40.0 (1)根据散点图判断，与（，，，d均为常数）哪一个更适宜作为利润关于月份的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）的结果及表中的数据，求出y关于的回归方程； 【1-7】网络直播带货助力乡村振兴，它作为一种新颖的销售土特产的