专题05 复合函数的不动点基本分析策略-备战2023年高考数学复习扫盲微专题系列

专题 ----- 复合函数的不动点基本分析策略 【专题导航】 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间，并构成了一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer）.简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，那么我们就称该函数为“不动点”函数.在教学复合函数时，往往要涉及到不动点问题，在实际教学过程中，本知识点讲解不透彻或者不到位的情况较常见，导致学生学得云里雾里，半懂不懂的.本专题就这个知识点位系统归纳复习. 【知识储备】 一、 函数的不动点: 1.定义：已知函数 , 若存在 , 使得 ，则称为函数 的不动点.不动点实际上是方程组 的解 的横坐标， 或两者图象的交点的横坐标.当然, 这个方程组根据函数 的不同，可能有多解. 例如 1: 的解只有一个 ，故函数 有一个不动点 例如 2: 的解为 ，故函数 有两个不动点 2、 函数的稳定点: 1.定义： 已知函数 , 若存在 ，使得 ，则称为函数 的稳定点. 三、函数的不动点与稳定点的关系: 1. 若为函数 的不动点，则必为函数 的稳定点.证明是非常简单的！因为 , 所以 , 即 , 故也是函数 的稳定点. 例如 3: 设 , 令 , 解得 ；故函数 有一个稳定点 ，也是不动点. 2. 函数的稳定点可以不是函数的不动点 例如 4: , 令 , 因为不动点必为稳定点, 所以该方程一定有两解 ，由此因式分解，可得 还有另外两解 , 故函数 的稳定点有 其中 是稳定点, 但不是不动点. 3.不动点是函数图象与直线 的交点的横坐标，而稳定点是函数图象与它的反函数（可以是多值的）的图象的交点的横坐标. 4.若函数 单调递增，则它的不动点与稳定点是完全等价的. 证明：若函数 有不动点，显然它也有稳定点 ; 若函数 有稳定点 , 即 , 设 , 则 ，即 和 都在函数 的图象上, 假设 , 因为 是增函数，则 , 即 , 与假设矛盾;假设 , 因为 是增函数，则 , 即 , 与假设矛盾;故 , 即 有不动点 . 【常见题型与解法探究】 题型一 内层定义域确定 【典例1-1】设函数（a∈R，e为自然对数的底数）．若存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立，则a的取值范围是（ ） A．[1，e] B．[1，1+e] C．[e，1+e] D．[0，1] 【能力达标训练】 【1-1】设函数，若存在(为自然对数的底数)，使得，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【1-2】设函数（为自然对数的底数），若存在实数使成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【1-3】设函数（），若存在，使得，则a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 题型二 内层自变量是函数 【典例2-1】设函数.若曲线上存在点，使得，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【典例2-2】设函数，若曲线上存在点，使得成立，求实数的取值范围. 【典例2-3】已知，设函数，存在满足，且，则的取值范围是______. 【能力达标训练】 【2-1】设函数.若曲线上存在点，使得，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． . 【2-2】设函数，若曲线上存在点，使得，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【2-3】设函数（为自然对数的底数），若曲线上存在点使得，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 【2-4】已知函数，若曲线上存在点，使得，则实数的最大值是（ ） A． B． C． D． 【2-5】已知函数，若曲线上存在点，使得，则实数的取值范围是__________． 【2-6】已知函数，若曲线（为自然对数的底数）上存在点使得，则实数的取值范围为__________. 【2-7】设函数，若曲线上存在点，使得成立，则实数a的取值范围是___________. 题型三 新概念型 【典例3-1】在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石．简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ） A． B． C． D． 【典例3-2】设函数为自然对数的底数），定义在上