考点20 同角三角函数的基本关系及诱导公式12种常见考法归类-【考点通关】备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)

考点20 同角三角函数的基本关系及诱导公式12种常见考法归类 ng 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 利用同角三角函数的基本关系求值 （一）已知一个三角函数值求其他三角函数值 （二）利用平方关系求参数 （三）由条件等式求值 考点二 利用同角三角函数的基本关系化简 考点三 正余弦齐次式的计算 考点四 之间的关系 考点五 利用同角三角函数的基本关系证明恒等式 考点六 给角求值问题 考点七 利用诱导公式化简与求值 考点八 同角关系与诱导公式的综合应用 考点九 利用互余互补关系求值 考点十 利用诱导公式和平方关系求解 考点十一 利用诱导公式证明三角恒等式 考点十二 新定义题 1. 同角三角函数的基本关系 sin2α＋cos2α＝1. ＝tan α. 这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切. 2. 同角关系的几种变形 (1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα). (2)sinα＝tanαcosα. (3)sin2α＝＝. (4)cos2α＝＝. 3. sinα，cosα，tanα三者知一求二问题 这类知一求二问题，注意判断角的范围，另外熟记以下常见勾股数，可以提高解题速度：①32＋42＝52，62＋82＝102，92＋122＝152，…；②52＋122＝132，82＋152＝172，72＋242＝252，… 4. 同角三角函数基本关系式的应用技巧 技巧 解读 适合题型 切弦互化 主要利用公式tan θ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tan θ化成正切 表达式中含有sin θ，cos θ与tan θ “1”的变换 1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝(sin θ±cos θ)2∓2sin θcos θ＝tan 表达式中需要利用“1”转化 和积转换 利用关系式(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ进行变形、转化 表达式中含有sin θ±cos θ或sin θcos θ 5. 正余弦齐次式处理技巧 （1）形如asinα＋bcosα和asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的式子分别称为关于sinα，cosα的一次齐次式和二次齐次式，对涉及它们的三角变换通常转化为正切(分子分母同除以cosα或cos2α)求解. 如果分母为1，可考虑将1写成sin2α＋cos2α. （2）已知 ①分式齐1次式 = ②分式齐2次式 ③齐2次整式 6. 与和有关的公式： 对于已知sinα±cosα的求值问题，一般应用三角恒等式，利用整体代入的方法来解，涉及的三角恒等式有： (sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝4sinαcosα＝2sin2α 注：利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用＝tan α可以实现角α的弦切互化；利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的关系可实现和积转化． 7. 同角三角函数关系式的方程思想 对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，知一可求二，转化公式为(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，若令sin α＋cos α＝t，则sin αcos α＝，sin α－cos α＝±(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用． 8. 利用同角三角函数基本关系化简、证明的常用方法 (1)化切为弦，减少函数名称． (2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号． (3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以降幂化简． 9. 诱导公式 公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六 角 α＋2kπ (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 与α终 边关系 相同 关于原 点对称 关于x轴 对称 关于y轴 对称 关于直线 y＝x对称 正弦 sinα －sinα －sinα sinα cosα cosα 余弦 cosα －cosα cosα －cosα sinα －sinα 正切 tanα tanα －tanα －tanα 记忆 规律 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 奇变偶不变，符号看象限 10. 诱导公式的记忆方法 ①口诀记忆法：奇变偶不变，符号看象