2023届广东省广州市普通高中毕业班冲刺训练题（二）数学试题

1 2023 年广州市普通高中毕业班冲刺训练题（二） 试题参考答案 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A B C D B C A 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 9. BCD 10. BCD 11. ACD 12. ABD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 5或者  *4 1k k N 14. 2 1 15. 2 5 16. 3 140 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分． 17.（10 分） （1）解: 由题意知， 2 2 1 1 1 11 2 2a a S a   ， 又 1 0a  ，得 1 1a  . 当 2n  时，由 2 1 2n n na a S  ，得     2 1 11 2n n n n nS S S S S     ， 得 2 2 1 1n nS S   . 则数列 2nS 是首项为 21 1S  ，公差为1的等差数列. 所以  2 1 1nS n n    . 又 0nS  ，则 nS n . 当 2n  时， 1 1n n na S S n n     ， 又 1 1a  满足上式， 所以 1na n n   . （2）证明： 由于 1 1 1 1 1 1 n n a n n n n a n n n n            ， 又 na 0 ， 所以 1n na a  . 2 x y z H E P B C D A F G 18. (12 分) （1）证明：取 PD中点 F ，连结 ,CF EF ． 因为点 E 为 PA 的中点，所以 //EF AD且 1 = 2 EF AD， 又因为 //BC AD且 1 = 2 BC AD ，所以 //EF BC且 =EF BC， 所以四边形 BCFE 为平行四边形. 所以 //BE CF . 又 BE 平面 PCD，CF 平面 PCD，所以 //BE 平面 PCD． （2）在平面 ABCD中，过 D 作 DG AD ，在平面 PAD 中，过 D 作 DH AD ． 因为平面 PAD 平面 ABCD，平面 PAD 平面 ABCD AD ， 所以 DG平面 PAD . 所以 DG DH ，所以 , ,DA DG DH 两两互相垂直. 以 D 为原点，向量 DA  ， DG  ， DH  的方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向建立空间直 角坐标系 D xyz （如图），则  4,0,0A ， (1, 3,0)C ，  2,0,2 3P  ，  0,0,0D , 所以 ( 3, 3,0)AC    ，  6,0,2 3AP    ，  1, 3,0  DC ， 设  , ,x y zn 是平面 PAC 的一个法向量， 则 0, 0, AC AP         n n 即 3 3 0, 6 2 3 0, x y x z        取 1x  ，得 (1, 3, 3)n ． 设直线CD与平面 PAC 所成角为． 则 1 3 0 2 7 sin cos , 74 7         DCn ， 所以直线CD与平面 PAC 所成角的正弦值为 2 7 7 ． 19.（12 分） （1）解：设事件 A 为“从被访问的100人中随机抽取 2 名，所抽取的都是