2023年成都中考数学复习——圆综合

题型一、三角函数与线段关系 1．（2013成都中考·27）（10分）如图，的半径，四边形内接于圆，于点，为延长线上的一点，且． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长； （3）在（2）的条件下，求四边形的面积．【切割线定理】 【考点】：圆的综合题 【专题】16：压轴题 【分析】（1）首先连接并延长交圆于点，连接，由是直径，可得的度数，又由，可证得，即可得与圆相切于点； （2）首先由，可设，则，又由，易求得，，连接，则，，可得； （3）由（2）易得，又由，可得方程：，解此方程即可求得的长，继而求得四边形的面积． 【解答】解：（1）与圆相切． 理由：如图，连接并延长交圆于点，连接， 是直径， ， ， ， ， 即， 与圆相切于点； （2） 可设，则， ， ， ， 在中，， ，， ， ， 连接，则，， ； （3）由（2）知，， ， 又， ， 解得：， ， ． 补充方法： 【点评】此题考查了切线的性质与判定、三角函数的性质以及切割线定理等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用． 2．（2022成都中考·17）（10分）如图，在中，，以为直径作，交边于点，在上取一点，使，连接，作射线交边于点． （1）求证：； （2）若，，求及的长． 【考点】圆的综合题 【难度：中】 【专题】几何综合题；推理能力 【分析】（1）利用等角的余角相等证明即可； （2）连接．解直角三角形求出，，利用面积法求出，再利用勾股定理求出，证明，利用相似三角形的性质求出即可． 【解答】（1）证明：， ， ， ，， ； （2）解：连接． ，， ， ， ， ，， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 3．（2014成都中考·27）（10分）如图，在的内接中，，，过作的垂线交于另一点，垂足为．设是上异于，的一个动点，射线交于点，连接与，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）在点运动过程中，设，，求与之间的函数关系式．（不要求写出的取值范围） 【考点】圆的综合题 【专题】几何综合题；压轴题 【分析】（1）证明相似，思路很常规，就是两个角相等或边长成比例．因为题中因圆周角易知一对相等的角，那么另一对角相等就是我们需要努力的方向，因为涉及圆，倾向于找接近圆的角，利用补角在圆内作等量代换，等弧对等角等知识易得，则结论易证． （2）求的长，且此线段在上问已证相似的中，很明显用相似得成比例，再将其他边代入是应有的思路．利用已知条件易得其他边长，则可求． （3）因为题目涉及与也在第一问所得相似的中，进而考虑转化，，连接得，过点作的垂线，若此线过与的交点那么结论易求，因为根据三角函数或三角形与三角形相似可用表示所对的这条高线．但是“此线是否过与的交点”？此时首先需要做的是多画几个动点，观察我们的猜想．验证得我们的猜想应是正确的，可是证明不能靠画图，如何求证此线过与的交点是我们解题的关键．常规作法不易得此结论，我们可以换另外的辅助线作法，先作垂线，得交点，然后连接交点与，再证明．因为、关于对称，可以延长考虑点的对称点．根据等弧对等角，可得，进而得解题思路． 【解答】（1）证明：， 是直径， 又， ， 所对的圆周角所对的圆周角所对的圆周角． 在和中， ， ． （2）解：如图1，连接，则由，有，且，、都为等腰直角三角形． 在中， ， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 为等腰直角三角形，， ． ， ， ， ． （3）解：如图2，过点作，交于，连接，以为直径作圆，连接并延长交于， ，， 、都在以为直径的圆上， ， 、关于对称，在上， 、关于对称， ， ， ． ， ， ． ， ． 【点评】本题考查了圆周角、相似三角形、三角函数等性质，前两问思路还算简单，但最后一问需要熟练的解题技巧需要长久的磨练总结．总体来讲本题偏难，学生练习时加强理解，重点理解分析过程，自己如何找到思路． 4．（2015成都中考·20）（10分）如图，在中，，的垂直平分线分别与，及的延长线相交于点，，，且，是的外接圆，的平分线交于点，交于点，连接，． （1）求证：； （2）试判断与的位置关系，并说明理由； （3）若，求的值．【母子型相似】 【考点】圆的综合题 【分析】（1）由垂直的定义可得，于是得到，从而证得； （2）与相切，如图1，连接证得，即可得到与相切； （3）如图2，连接，，有等腰直角三角形的性质得到，由于垂直平分，得到，求得，有勾股定理解出，推出是等腰直角三角形，求得，通过，列比例式即可得到结论． 【解答】（1）证明：， ， ， ，