2023年成都中考数学复习——几何综合解答题

1．（2012成都中考·20）（10分）如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合．将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点． （1）如图①，当点在线段上，且时，求证：； （2）如图②，当点在线段的延长线上时，求证：；并求当，时，、两点间的距离（用含的代数式表示）． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；旋转的性质；相似三角形的判定与性质 【专题】几何综合题；压轴题 【分析】（1）由是等腰直角三角形，易得，，又由，是的中点，利用，可证得：； （2）由和是两个全等的等腰直角三角形，易得，然后利用三角形的外角的性质，即可得，则可证得：；根据相似三角形的对应边成比例，即可求得的长，即可得的长，继而求得与的长，利用勾股定理即可求得、两点间的距离． 【解答】（1）证明：是等腰直角三角形， ，， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ； （2）解：连接， 和是两个全等的等腰直角三角形， ， ， 即， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ，， 在中，． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度较大，注意数形结合思想的应用． 2．（2013成都中考·20）（10分）如图，点在线段上，点、在同侧，，，． （1）求证：； （2）若，，点为线段上的动点，连接，作，交直线于点； 当点与、两点不重合时，求的值； 当点从点运动到的中点时，求线段的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程） 【考点】：全等三角形的判定与性质；：相似三角形的判定与性质 【专题】152：几何综合题；16：压轴题 【分析】（1）根据同角的余角相等求出，再利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后根据整理即可得证； （2）过点作于，根据和相似可得，然后求出，再根据和相似可得，然后整理得到，从而求出，最后利用相似三角形对应边成比例可得，从而得解； 判断出的中点的路径为的中位线．求出、的长度，利用勾股定理求出的长度，再根据中位线性质求出的长度，即所求之路径长． 【解答】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）如图，过点作于， 则， ， 即， ， ， ， ， ， 又， ， ， 即， ， 整理得，， 点与，两点不重合， ， ， 由得，， ； 线段的中点所经过的路径（线段）就是的中位线． 由（2）可知，． 当点运动至中点时，，． ． 在中，根据勾股定理得：． ． 线段的中点所经过的路径（线段）长为． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，（1）求出三角形全等的条件是解题的关键，（2）根据两次三角形相似求出是解题的关键，判断出路径为三角形的中位线是解题的关键． 3．（2014成都中考·20）（10分）如图，矩形中，，是边上一点，为大于2的整数），连接，作的垂直平分线分别交，于点，，与的交点为，连接和． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）当为常数），时，求的长； （3）记四边形的面积为，矩形的面积为，当时，求的值．（直接写出结果，不必写出解答过程） 【考点】四边形综合题 【专题】几何综合题 【分析】（1）先求证，可得，再根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，即可证明四边形为菱形； （2）根据菱形面积不同的计算公式（底乘高和对角线乘积的一半两种计算方式）可计算的长度； （3）根据菱形面积底乘高的计算方式可以求出长度，根据勾股定理可求出的长度，即可求出的长度，即可计算的值． 【解答】解：（1）， ， 为的垂直平分线， ； 在和中，， ， ，且 四边形为菱形． （2）当，时，，， 根据勾股定理可以计算， ，在中，计算可得，， 菱形面积，计算可得． （3）设，则， ， 当时，，可得， 在中，计算可得， ，， ， ． 【点评】牢记菱形的底乘高和对角线求面积的计算公式，熟练运用勾股定理才能解本题． 4．（2015成都中考·27）（10分）已知，分别是四边形和的对角线，点在内，． （1）如图①，当四边形和均为正方形时，连接． 求证：； 若，，求的长； （2）如图②，当四边形和均为矩形，且时，若，，，求的值； （3）如图③，当四边形和均为菱形，且时，设，，，试探究，，三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程） 【考点】四边形综合题 【专题】压轴题 【分析】（1）首先根据四边形和均为正方形，可得，；然后根据相似三角形判定的方法，推得即可． 首先根据，判断出，再根据，判断出；然后在中，根据勾股定理，求出的长度，再根据、的关系，求出的长是多少即可． （2）首先根据相似三角形判定的方法，判断出，即可判断出，据此求出的长度是多少；然后判断出，在中，根据勾股定理，求出的值是多少