2023年成都中考数学复习——二次函数综合

1．（2012成都中考·28）（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数为常数）的图象与轴交于点，与轴交于点．以直线为对称轴的抛物线，，为常数，且经过，两点，并与轴的正半轴交于点． （1）求的值及抛物线的函数表达式； （2）设是轴右侧抛物线上一点，过点作直线的平行线交轴于点．是否存在这样的点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由； （3）若是抛物线对称轴上使的周长取得最小值的点，过点任意作一条与轴不平行的直线交抛物线于，，，两点，试探究是否为定值，并写出探究过程． 【考点】：二次函数综合题 【专题】16：压轴题 【分析】（1）首先求得的值和直线的解析式，根据抛物线对称性得到点坐标，根据、点坐标利用交点式求得抛物线的解析式； （2）存在点使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形．如答图1所示，过点作轴于点，构造全等三角形，利用全等三角形和平行四边形的性质求得点坐标和平行四边形的面积．注意：符合要求的点有两个，如答图1所示，不要漏解； （3）本问较为复杂，如答图2所示，分几个步骤解决： 第1步：确定何时的周长最小．利用轴对称的性质和两点之间线段最短的原理解决； 第2步：确定点坐标，从而直线的解析式可以表示为； 第3步：利用根与系数关系求得、两点坐标间的关系，得到，．这一步是为了后续的复杂计算做准备； 第4步：利用两点间的距离公式，分别求得线段、和的长度，相互比较即可得到结论：为定值．这一步涉及大量的运算，注意不要出错，否则难以得出最后的结论． 【解答】解：（1）经过点， ，解得， 直线解析式为，． 抛物线对称轴为，且与轴交于， 另一交点为， 设抛物线解析式为， 抛物线经过， ，解得， 抛物线解析式为； （2）假设存在点使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形， 则且．如答图1， 当点在点位置时，过点作轴于点， ，， 又， ， ，即， ，解得与点重合，舍去）， ，； 当点在点位置时，过点作轴于点， 同理可求得，，． （3）要使的周长最小，只需最小即可． 如答图2，连接交于点，因为点、关于对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时最小最小值为线段的长度）． ，， 直线解析式为， ，，即． 令经过点的直线为，则，即， 则直线的解析式是：， ，， 联立化简得：， ，． ，， ． 根据两点间距离公式得到： ． 又； 同理 ． ， 为定值． 【点评】本题是难度很大的中考压轴题，综合考查了初中数学的诸多重要知识点：代数方面，考查了二次函数的相关性质、一次函数的相关性质、一元二次方程根与系数的关系以及二次根式的运算等；几何方面，考查了平行四边形、全等三角形、两点间的距离公式、轴对称最短路线问题等．本题解题技巧要求高，而且运算复杂，因此对考生的综合能力提出了很高的要求． 2．（2013成都中考·28）（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线，为常数）的顶点为，等腰直角三角形的顶点的坐标为，的坐标为，直角顶点在第四象限． （1）如图，若该抛物线过，两点，求该抛物线的函数表达式； （2）平移（1）中的抛物线，使顶点在直线上滑动，且与交于另一点． 若点在直线下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以、、三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点的坐标； 取的中点，连接，．试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 【考点】：二次函数综合题 【专题】16：压轴题 【分析】（1）先求出点的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式； （2）首先求出直线的解析式和线段的长度，作为后续计算的基础． 若为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况： ①当为直角边时：点到的距离为．此时，将直线向右平移4个单位后所得直线与抛物线的交点，即为所求之点； ②当为斜边时：点到的距离为．此时，将直线向右平移2个单位后所得直线与抛物线的交点，即为所求之点． 由可知，为定值，因此当取最小值时，有最大值． 如答图2所示，作点关于直线的对称点，由分析可知，当、、中点）三点共线时，最小，最小值为线段的长度． 【解答】解：（1）等腰直角三角形的顶点的坐标为，的坐标为， 轴，轴， 点的坐标为． 抛物线过，两点， ，解得：，， 抛物线的函数表达式为：． （2）方法一： ，，， 直线的解析式为：． 设平移前抛物线的顶点为，则由（1）可得的坐标为，且在直线上． 点在直线上滑动，可设的坐标为， 则平移后抛物线的函数表达式为：． 解方程组：， 解得， ，． 过点作轴，过点作轴，则 ，． ． 若以、、三点为顶点的等腰直角三角形，则可分为以下两种情况： ①当为直角边时：点到的距离为（即为的长）． 由，，可知， 为等腰直角三角形，且，． 如答图1，过点作直线，交抛物线于点，则为符合条件的