2023年九年级中考数学复习专项提升——数学思想探究

中考专项提升——初中数学思想方法解题探究 【数学思想的整体认识】 数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学思想是数学的灵魂；数学方法是数学思想的具体化形式，数学方法是数学的行为，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题，通常混称为数学思想方法。数学思想方法是数学知识的灵魂;是数学知识、数学技能的本质体现;是解决数学问题的金钥匙。运用数学思想方法,是学习数学的基本要求;是能够使数学能力不断提高，从而取得好成绩的工具。数学思想有:函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、转化与化归的思想等。 注：其高维数学思想：抽象、推理、模型（有兴趣的老师可参阅《数学基本思想18讲》史宁中著），我们可以把上边提到的几个数学思想看作是低维数学思想。 【数学思想方法具体认识与强化训练】 一、函数与方程的思想 函数与方程的思想是中学数学最基本的思想。所谓函数的思想是指用运动变化的观点去分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再运用函数的图像与性质去分析、解决相关的问题。而所谓方程的思想是分析数学中的等量关系，去构建方程或方程组，通过求解或利用方程的性质去分析解决问题。 典例1：如图,在△ABC中，∠B=90°, tanC=，AB=6cm,动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动,若P,Q两点分别从A,B两点同时出发,在运动过程中,△PBQ的最大面积是( ) A.18cm2 B.12cm2 C.9cm2 D.3cm2 典例2：如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为( ) A. B. C.4 D.5 跟踪训练： 1.若关于x的方程x2+2mx+m2+3m-2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为 . 2.如图，正方形ABCD边长为1，当M、N分别在BC，CD上，使得△CMN的周长为2，则△AMN的面积的最小值为 . 3. 如图，A、B是双曲线上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C，若△ADO的面积为1，D为OB的中点，求k的值． 4.[探究发现]如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点.求证:△BFG≌△BCG 图③ [类比迁移]如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD=8,AB=6,将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于点G,延长BF交CD边于点H,且FH=CH，求AE的长. [拓展应用]如图③，在菱形ABCD中，E为CD边上的三等分点，∠D=60°,将△ADE沿AE翻折得到△AFE，直线EF交BC于点P,求CP的长. 二、数形结合的思想 数与形在一定的条件下可以转化。如某些代数问题、三角问题往往有几何背景，可以借助几何特征去解决相关的代数三角问题;而某些几何问题也往往可以通过数量的结构特征用代数的方法去解决。因此数形结合的思想对问题的解决有举足轻重的作用。 典例1：若关于x的方程m(x+h)2+k＝0(m、h、k均为常数，m≠0)的解是x1＝-3，x2＝2，则方程m(x+h-3)2+k＝0的解为( ) A.x1＝-6，x2＝-1 B.x1＝0，x2＝5 C.x1＝-3，x2＝5 D.x1＝-6，x2＝2 典例2：已知△ABC≌△DEC，AB=AC,AB>BC. (1)如图1,CB平分∠ACD，求证:四边形ABDC菱形; (2)如图2,将(1)中的△CDE绕点C逆时针旋转(旋转角小于∠B4C), BC，DE的延长线相交于点F,用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明; (3)如图3，将(1)中的△CDE绕点C顺时针旋转(旋转角小于∠ABC),若∠BAD=∠BCD，求∠ADB的度数。 跟踪训练： 1.如图，A，B两点的坐标分别为4(4，3)，B(0,-3),在x轴上找一点P,使线段PA+PB的值最小，则点P的坐标为_ 2. 如图，在边长为2a的正方形中央剪去一边长为(a+2)的小正方形(a＞2)，将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为( ) A.a2+4 B.2a2+4a