6.3 平面向量线性运算的应用课件-2022-2023学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第二册

第六章 平面向量初步 6.3 平面向量线性运算的应用 目录 CONTENTS 向量在平面几何中的应用 01 02 向量在物理中的应用 2 01 向量在平面几何中的应用 在学习向量及其运算时，我们已经看到向量在三角形、平行四边形等平面几何中的应用.实际上，利用平面向量可以很好地描述有关全等、相似、平行等关系，从而可以求解和证明平面几何问题. 例题精讲 例1 如图所示，MN 是 ABC 的中位线，求证： MN//BC 且 . △ A B C M N 证明 因为 M，N 分别是 AB，AC 边上的中点，所以 ， ，因此 ， 从而可知 MN//BC 且 . 例2 如图所示，已知平行四边形 ABCD 中，E，F 在对角线 BD 上，并且 BE = FD. A B C D E F 由已知可设 ， ， 则 ， . 又因为 a + b = b + a，所以 ， 因此 AE FC，从而可知四边形 AECF 是平行四边形. 证明 例3 如图所示，已知 ABC 的，E，F 分别是 AB，BC 的中点，AF 与 CE 相交于点 O，求 AO : OF 与 CO : OE 的值. △ A B C F E O 解 因为 ，又因为 E，F 都是中点，所以 . 另外， ，所以 .设 ， ，则有 ，即 . 从而由共线向量基本定理可知 s = t = ____，因此 AO : OF = CO : OE = ______. 2 2 : 1 名师点评 例 1 的结论是三角形中位线定理，初中的时候我们是利用平行四边形的性质来证明的，但这里只用到了平面向量的线性运算. 例 2 用初中的三角形全等也能证明，但是这里只用到了平面向量的线性运算. 例 3 中的 O 点是 ABC 的重心.同样，这里也是利用平面向量的线性运算得到了三角形重心的一个性质，这个性质如果用相似三角形等知识来证明，需要添加辅助线. △ 02 向量在物理学中的应用 我们在物理中已经学过，利用向量可以描述物理学中的位移、力、速度、加速度等，因此，在涉及这些量的运算时，我们都可以借助向量来完成. 例如，从物理学中我们知道，同一个力 F 可以分解成无数对大小、方向不同的分力.从数学上来说，这是因为对于同一条对角线，可以有无数个平行四边形，如右图所示. F 如果一个质点 O 处于平衡状态，而且受到多个力的作用，那就是说这些力的合力为零.特别地，如果两个力 ， 的合力为零，则 0，也就是说，这两个力互为相反向量，如图（1）所示；如果三个力 ， ， 的合力为零，则 0 ，也就是说，其中任意两个力的合力是另外一个力的相反向量，如图（2）所示 ● O （