6.2.3 平面向量的坐标及其运算课件-2022-2023学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第二册

第六章 平面向量初步 6.2.3 平面向量的坐标及其运算 1 目录 /CONTENTS 01 02 03 04 平面向量的坐标 平面上向量的运算与坐标的关系 平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式 向量平行的坐标表示 2 01 平面向量的坐标 3 平面上的两个非零向量 a 与 b，如果它们所在的直线互相垂直，我们就称向量 a 与 b 垂直，记作 a ⊥ b.为了方便起见，规定零向量与任意向量都垂直. 我们已经从平面向量基本定理知道，给定平面内两个不共线的向量（即给定一组基底）后，平面内的任意一个向量都能用这两个向量表示. 如果平面向量的基底 中， ，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解. 尝试与发现 如图所示，已知 ， 是平面内两个相互垂直的单位向量，将图中的向量 a 与 b 都用 ， 表示. a b 5 可以看出， ， . 一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量 ， ，对于平面内的向量 a，如果 则称 为向量 a 的坐标，记作 因此，图中 a 的坐标为 ，b 的坐标为___________. a b a b O x y 平面上向量的坐标也可以按照如下方式来直观理解：如下图所示，在平面上指定一点 O 作为原点，以 的方向为 x 轴的正方向，以 的方向为 y 轴的正方向，以 （或 ）的模为单位长度建立平面直角坐标系，对于平面上任意一个向量 a，如果我们把它的始点平移到原点 O，那么 a 的终点对应的坐标就是向量 a 的坐标. 图中， ， .特别地， , . 为了方便起见，以后谈到平面上向量的坐标时，总是默认为已经按照上述方式指定了单位向量 ， ，并建立了平面直角坐标系；同时，谈到平面直角坐标系时，默认为已经指定了与 x 轴及 y 轴的正方向同向的两个单位向量.此时：如果平面上一点 A 的坐标为 （通常记为 ），那么向量 对应的坐标也为 ，即 ；反之，这一结论也成立. 因此，为了求出平面上向量的坐标，可以选择如下两种方法中的任何一种： （1）将向量用单位向量 ， 表示出来； （2）将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标. 例1 如图所示，写出向量 a，b 的坐标. a b O x y 解 因为 a 的始点在原点，因此由 a 的终点坐标可知 . 又因为 ，所以 b = ________. 02 平面上向量的运算与坐标的关系 10 尝试与发现 平面上的向量有了坐标之后，向量的相等以及运算与它们对应的坐标之间有什么关系？ 假设平面上两个向量 a，b 满足 ， ，也就是说 ， . 则当 a = b 时，有 ，由 ， 是相互垂直的单位向量可知 且 ；反之结论也成立.这就是说，平面上两个向量相等的充要条件是它们的坐标对应相等. 11 另外，因为 ， 所以 类似地，可以得出，如果 u，v 是两个实数，那么