6.2.1向量基本定理课件-2022-2023学年高一下学期数学人教B版(2019)必修第二册

第六章 平面向量初步 6.2.1 向量基本定理 1 目 录 01 共线向量基本定理 02 平面向量基本定理 03 课堂小结 2 01 共线向量基本定理 3 前面我们已经看到，当存在实数 λ ，使得 b = λa 时，b // a. 那么，这个结论反过来是否成立呢？ 思考 4 例1 如图所示，判断向量 b，c，d，e 是否可以写成数与向量 a 相乘.如果可以，写出表达式；如果不可以，说明理由. a b c d e 解 因为 b 与 a 的方向相同，而且 ，所以 b = 2a； 因为 c 与 a 的方向相同，而且 ，所以 ； 因为 d 与 a 的方向相反，而且 ，所以 ； 因为 e 与 a 不平行，所以 e 不能写成数与向量 a 相乘. 5 一般地，有如下共线向量基本定理： 如果 a ≠ 0 且 b // a ，则存在唯一的实数 λ，使得 b = λa. 在共线向量基本定理中： （1） b = λa 时，通常称为 b 能用 a 表示. （2）其中的“唯一”指的是，如果还有 b = μa，则有 λ = μ.这是因为：由 λa = μa 可知 0，如果 ，则 a = 0 ，与已知矛盾，所以 ，即 λ = μ. 由共线向量基本定理以及前面介绍过的结论可知， 如果 A，B，C 是三个不同的点，则它们共线的 充要条件是：存在实数 λ，使得 . 6 尝试与发现 如果 a = 0 且 b // a，什么时候存在实数 λ，使得 b = λa ？这样的 λ 有多少个？什么时候不存在这样的实数 λ ? 可以看出，此时只有 b = 0 时才存在实数 λ，使得 b = λa ，而且这样的 λ 可以是任意实数. 7 02 平面向量基本定理 8 情境与问题 共线向量基本定理的实质是，所有共线的向量中，只要指定一个非零向量，则其他向量都可以用这个向量表示出来.那么，这个结论是否可以推广到所有共面的向量呢？ 9 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，如果 ， ，则 ， .也就是说，向量 和 都写成了向量 a ，b 的线性运算. a b A B C D 10 尝试与发现 如图所示，已知 a ，b ， c ， d ， e ， f 的始点相同，你能分别将 c ， d ， e ， f 写成向量 a ，b 的线性运算吗？ a f e d c b 11 不难看出， ， ， ， . 一般地，有如下平面向量基本定理： 如果平面内两个向量 a 与 b 不共线，则对该平面内任意一个向量 c，存在唯一的实数对 ，使得 . 12 上述实数对 可以用如下方式找到：如图所示，将向量 a 与 b 的始点平移到一起，假设 ， ，将向量 c 的始点也平移到 O 点，以 OA，OB 所在的直线为相邻的边，以 OC 为对角线作平行四边形 ODCE. c a b c a b O C D E A B 13 因为 a 与 b 不共线，所以 a ≠ 0 且 b ≠ 0.又因为 //a，因此由共线向量基本定理可得，存在唯一的 x，使得 ；同理，存在唯一的 y，使得 .又由向量加法的平行四边形法则可知 ，从而 . 14 解 由图不难看出 ， ， ，