第八讲 函数的奇偶性讲义-2023届高三数学一轮复习

第八讲 函数奇偶性 一．知识要点 知识点一：偶函数的概念 偶函数：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数．例： 知识点二：奇函数的概念 奇函数：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数．例：． 注：定义域在数轴上所示的区间关于原点对称，是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件．例：在区间上是偶函数，但在区间上却无奇偶性可言． 知识点三：奇函数、偶函数的性质 ①是奇函数的图像关于原点对称； 是偶函数的图像关于轴对称． ②若奇函数在处有定义，则;当是偶函数，则 ③奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同， 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． ④奇偶函数的运算性质：在公共定义域内有： 奇±奇＝奇（函数）　 偶±偶＝偶（函数）　　 奇×奇＝偶（函数）　　　　 　 偶×偶＝偶（函数）　　 奇×偶＝奇（函数）　 注：以上结论是在两函数的公共定义域内才成立；并且只能在选择题、填空题中直接应用，解答 题需先证明再利用． ⑤对称性：奇（偶）函数的定义域一定关于原点对称． ⑥整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立． ⑦可逆性：是偶函数；是奇函数． ⑧等价性：． ． ⑨可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既奇又偶的函数（有且只有一类，即）、非奇非偶函数． 知识点四：奇偶性与对称性的一些重要结论 ①若，则函数的对称轴为． 一般若则对称轴为． ②若函数为奇函数，则函数的对称中心为点． 若函数为偶函数，则函数的对称轴为． 知识点五：周期性 周期函数定义：若对于定义域内任意都有，则叫作函数的周期． 有关周期的一些重要结论有： ①若，则周期； ②若，则周期； ③若，则周期； ④若，则周期． 二．经典例题 题型一：判断函数的奇偶性 【例1】判断下列函数的奇偶性 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【变式】判断下列函数的奇偶性 （1）； （2）； （3）； （4）． 【拓展】判断函数的奇偶性为： ________________ ． 题型二：函数奇偶性的应用 （一） 图像性质 【例2】已知是偶函数，且图像与轴有四个交点，则方程的所有实根之和是（ ） A． B． C． D． 【变式】已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．是偶函数，递增区间是 B．是偶函数，递减区间是 C．是奇函数，递减区间是 D．是奇函数，递增区间是 【拓展】若函数是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的的取值范围是（ ） A． B． C． D． （二）求函数值或值域 【例3】已知，且，求． 【变式1】已知，且，求． 【变式2】设的图像关于对称，定义域为，求的值域． （三）求参数值 【例4】（1）设函数为奇函数，则 ． （2）若是奇函数，则 ． （3）若函数为奇函数，则（ ） A． B． C． D． 【变式】已知函数是奇函数，，，且在上是增函数． （1）求的值； （2）当时，讨论函数的单调性． （四）求函数解析式 【例5】已知是偶函数，且当时，，求时，的解析式． 【变式】已知是定义域为的奇函数，当时，，求的解析式． 【拓展】已知，是二次函数，当时，的最小值是，且是奇函数，求的表达式． （五）解抽象函数不等式 【例7】设为定义在上的偶函数，在区间上递增，且有，求的取值范围． 【例8】已知是实数集上的偶函数，且在区间上是增函数，则的大小关系是． 【变式1】已知偶函数在区间单调递增，则满足的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2】设函数，则使得成立的的取值范围是（ ） A． B． C． D． （六）抽象函数的奇偶性 【例9】若对于任意实数，函数都有，求证：为奇函数． 【变式1】若对于任意实数，函数都有．求证：为偶函数. 【变式2】设函数定义在上，求证：是偶函数，是奇函数． 【拓展1】均为奇函数，在上的最大值为5，则在上的最小值为______． 【拓展2】已知是定义在上的不恒为零的函数，且对于任意的，满足关系式：，则的奇偶性为（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数也是偶函数 题型三：奇偶性的综合应用 【例10】已