2024届高三数学一轮复习基础夯实练4：基本不等式

基础夯实练4 基本不等式 1．下列函数中，最小值为2的是(　　) A．y＝x＋ B．y＝ C．y＝ex＋e－x D．y＝sin x＋ 2．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则lg a＋lg b的最大值为(　　) A．0 B. C. D．1 3．(2021·新高考全国Ⅰ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　) A．13 B．12 C．9 D．6 4．(2023·太原模拟)已知a，b为正实数，a＋b＝3，则＋的最小值为(　　) A. B. C. D．4 5．(多选)(2022·衡阳模拟)设a＝log23，b＝log2，则下列关系正确的是(　　) A．ab> B．ab< C.> D．ab> 6．(多选)(2023·黄冈模拟)若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　) A．0<≤ B.＋≥1 C．log2a＋log2b<2 D.≤ 7．函数y＝(x>－1)的最小值为________． 8．(2023·娄底质检)已知a，b为正实数，且2a＋b＝1，则＋的最小值为________． 9．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值； (2)已知0<x<2，求函数y＝x的最大值． 10．某企业为了进一步增加市场竞争力，计划利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本300万元，每生产x(千部)手机，需另投入成本R(x)万元，且R(x)＝通过市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完． (1)求出今年的利润W(x)(万元)关于年产量x(千部)的函数关系式(利润＝销售额－成本)； (2)今年产量为多少(千部)时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 11. (2023·湘潭模拟)已知α，β为锐角，且tan α－tan β＋2tan αtan2β＝0，则tan α的最大值为(　　) A. B. C. D. 12．(2022·天津模拟)若a>0，b>0，则(a＋b)2＋的最小值为________． 13.《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，则该图形可以完成的无字证明为(　　) A.≤(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0) C.≥(a>0，b>0) D.≥(a>0，b>0) 14．(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　) A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2 C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1 参考答案 1．C　2.A　3.C　4.A　5.BCD 6．BD　[因为a>0，b>0，所以ab≤2≤，当且仅当a＝b＝2时等号成立， 则ab≤2＝4或2≤，当且仅当a＝b＝2时等号成立， 则≥，a2＋b2≥8，≤， 当且仅当a＝b＝2时等号成立， 则log2a＋log2b＝log2ab≤log24＝2， 当且仅当a＝b＝2时等号成立，故A，C不恒成立，D恒成立； 对于B选项，＋＝＝≥4×＝1， 当且仅当a＝b＝2时等号成立，故B恒成立．] 7．0　8.6 9．解　(1)y＝(2x－3)＋＋＝－＋. 当x<时，有3－2x>0， 所以＋ ≥2＝4， 当且仅当＝， 即x＝－时，取等号． 于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－. (2)因为0<x<2， 所以4－x2>0， 则y＝x＝≤＝2， 当且仅当x2＝4－x2，即x＝时，取等号， 所以y＝x的最大值为2. 10．解　(1)当0<x<40时，W(x)＝700x－(10x2＋100x)－300＝－10x2＋600x－300， 当x≥40时，W(x)＝700x－－300＝－＋9 150， ∴W(x)＝ (2)若0<x<40， W(x)＝－10(x－30)2＋8 700， 当x＝30时，W(x)max＝8 700(万元)． 若x≥40，W(x)＝－＋9 150≤9 150－2＝8 950， 当且仅当x＝时，即x＝100时，取等号． ∴W(x)max＝8 950(万元)． ∴今年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8 950万元． 11．A　[因为β为锐角，所以tan β>0， 由题意可得tan α＝＝≤＝， 当且仅当tan β＝时取等号， 故tan α的最大值为.] 12．4 解析　若a>0，b>0，则(a＋b)2＋≥(2)2＋＝4ab＋≥4， 当且仅当 即a＝b＝时取等号， 故所求