专题15 观察、猜想与证明题-【中考冲刺】2023年中考数学二轮复习名校模拟题重要考点分类汇编（江苏专用）

专题十五 观察、猜想与证明题 一、单选题 1．（2022·江苏·九年级专题练习）一般地，如果（n为正整数，且），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（    ） A．16的4次方根是2 B．32的5次方根是 C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小 D．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而增大 2． （2021秋·江苏盐城·九年级阶段练习）如图，是一组按照某种规律摆放成的图案，则图5中三角形的个数是( ) A．8 B．9 C．16 D．17 3．（2022秋·江苏苏州·九年级校联考期中）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　） A． B．﹣1 C． D． 4．（2021·江苏·九年级专题练习）在同一平面内，我们把两条直线相交将平面分得的区域数记为，三条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为，四条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2020春·江苏镇江·九年级校考阶段练习）定义一种关于整数n的“F”运算：一、当n为奇数时，结果为3n＋5；二、当n为偶数时,结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取n＝58,第一次经F运算是29,第二次经F运算是92,第三次经F运算是23,第四次经F运算是74……，若n＝449,求第2020次运算结果是（      ） A．1 B．2 C．7 D．8 6．（2022·江苏宿迁·统考二模）观察规律，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 7．（2022秋·江苏·九年级期中）阅读理解： 转化思想是常用的数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问题来解决．如解一元二次方程是转化成一元一次方程来解决的；解分式方程是转化为整式方程来解决的．由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验． 利用转化思想，我们还可以解一些新的方程，如无理方程（根号下含有未知数的方程）．解无理方程关键是要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方程也必须检验． 例如：解方程 解：两边平方得： 解得：， 经检验，是原方程的根， 代入原方程中不合理，是原方程的增根． ∴原方程的根是． 解决问题： （1）填空：已知关于x的方程有一个根是，那么a的值为 ； （2）求满足的x的值； （3）代数式的值能否等于8 ? 若能，求出的值；若不能，请说明理由． 8．（2019秋·江苏扬州·九年级校考期中）阅读材料：已知方程p2﹣p﹣1＝0，1﹣q﹣q2＝0且pq≠1，求的值． 解：由p2﹣p﹣1＝0，及1﹣q﹣q2＝0可知p≠0， 又∵pq≠1， ∴p≠． ∵1﹣q﹣q2＝0可变形为﹣1＝0， 根据p2﹣p﹣1＝0和﹣1＝0的特征， ∴p、是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根， 则p+，即． 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答． 已知：2m2﹣5m﹣1＝0，，且m≠n，求： （1）mn的值； （2）． 9．（2022·江苏·九年级专题练习）阅读材料，并回答问题： 小亮在学习分式过程中，发现可以运用“类比”的方法，达成事半功倍的学习效果，比如学习异分母分式加减可以类比异分母分数的加减，先通分，转化为同分母分式加减进行运算，解分式方程可以类比有分母的一元一次方程，先去分母，转化为整式方程求解；比较分式的大小，可以类比整式比较大小运用的“比差法”…… 问题： （1）材料中分式“通分”的依据是 ；“将分式方程转化为整式方程”的“去分母”的依据是 ； （2）类比解分式方程的思想方法，解方程：； （3）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：甲、乙两组人各自平分钱，已知两组人数相同，相关信息如表： 组别 人数（人） 总金额（元） 甲 乙 试比较甲乙两组哪组人均分的钱多？ 10．（2020·江苏盐城·统考模拟预测）阅读下面的材料： 如果函数满足：对于自变量的取值范围内的任意，， （1）若，都有，则称是增函数； （2）若，都有，则称是减函数． 例题：证明函数是减函数． 证明：设， ． ∵， ∴，． ∴．即． ∴． ∴函数是减函数． 根据以上材料，解答下面的问题： 已知函数， ， （1）计算：　 　，　 　； （2）猜想：函数是　 　函数（填“增”或“减”）； （3）请仿照例题证明你的猜想． 11