第03讲 因式分解 (精讲）-【赢在起跑线：初升高数学衔接】2023年初三升高中数学完美升级衔接精讲精练

第03讲 因式分解(精讲） 目录 一、知识巩固与延伸 2 1、因式分解定义 2 2、提公因式法 2 3、公式法： 2 4、十字相乘法 2 5、分组分解法 3 6、求根公式法 3 二、高中相关知识 4 二、重点题型剖析 4 题型一：提公因式法因式分解 4 题型二：运用公式法分解因式 5 题型三：利用平方差，完全平方和（差）公式巧计算 8 题型四：首项系数为“1”的二次三项式因式分解 10 题型五：首项系数“不为1”的二次三项式因式分解 11 题型六：含参数的十字相乘法 13 题型七：十字相乘法的综合应用 13 题型八：分组分解法（四项式，五项式，六项式等） 15 题型九：因式分解的应用 19 温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头 一、知识巩固与延伸 一、初中知识再现 1、因式分解定义 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种运算叫做因式分解. 2、提公因式法 （1）如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。如: （2）概念内涵: ①因式分解的最后结果应当是“积”； ②公因式可能是单项式,也可能是多项式； ③提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: 3、公式法： 3.1公式法——平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 特别说明： （1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 3.2公式法——完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 特别说明： （1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 4、十字相乘法 4.1十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在 ，则 特别说明： （1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则,同号(若，则,异号)，然后依据一次项系数的正负再确定,的符号 （2）若中的,为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 4.2首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 特别说明： （1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 5、分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 6、求根公式法 对于一元二次方程，当时，一元二次方程有两个实数根，记为：.此时对应的二次三项式可分解为：. 二、高中相关知识 1、乘法公式中的立方和、立方差公式： ① ② 2、因式分解中的立方和、立方差公式 ① ② 二、重点题型剖析 题型一：提公因式法因式分解 典型例题 例题1．（2023秋·江苏南通·八年级统考期末）已知，，则的值为（　　） A．3 B．6 C．8 D．11 例题2．（2023秋·上海宝山·七年级校考期末）分解因式：______． 例题3．（2023·全国·九年级专题练习）分解因式：． 题型归类练 1．（2023秋·河南开封·八年级统考期末）分解因式的结果是______． 2．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期中）分解因式：__________． 3．（2023·全国·九年级专题练习）因式分解：． 题型二：运用公式法分解因式 典型例题 例题1．（2023春·七年级课时练习）对多项式进行因式分解，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 例题2．（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）（1）计算：；     （2）因式分解：． 例题3．（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以将多