空间几何判断的几个常识讲义-2023届高三数学专项复习

空间几何判断的几个常识 1.几何体的三视图求值 【例1】如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（    ） 由三视图确定立体图形形状，求出体积与表面积的考查，重点在于判断立体图形是怎么样的几何体。一般方法有两种： ①利用常见的正方体、长方体等规则图形，根据三视图做切割，如例题的详解中图片反映的。注意，一般三视图的实斜线都是前部分切割线；虚斜线都是后部分切割线，如例1； ②先从俯视图了解图形“占地”，根据正视图和左视图确定所有有高度的“点”及高度，点与点之间的连接。如例2； A．2 B． C． D．4 【详解】如图所示，该几何体为正方体的一部分，其中四点共面， 所以. 故选：B. 【例2】设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m），则该几何体的体积为____m3. 【详解】由三视图可得该几何体为三棱锥，如图所示， 其中棱锥的高为，底面三角形的底边长为，高为， 则该几何体的体积为. 故答案为：4. 2.常规的几个判定运用 【例3】如图，三棱柱中，，，，点M，F分别为BC，的中点，点E为AM的中点．比较常见的判定直线与平面平行： ①可以证明直线a与平面上直线b平行，比如利用证明平行四边形的性质，比如利用相似三角形的性质； ②可以先说明直线a所在的平面与目标平面相交与直线b，再证明直线a与b平行。 (1)证明：； (2)证明：平面； 【详解】（1），点M为BC的中点，， 同理，,平面, 平面,平面， ； （2）取BM中点为G，连接EG、, 则，所以， 又， 所以四边形为平行四边形，所以， 而在平面内，EF在平面外， 故平面. 【例4】如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面PAB，，，N为PC的中点．空间几何关于垂直的判定问题，有以下几个考点： 证明直线与平面垂直： 需要证明目标直线a与目标平面上两条相交直线b和c垂直，垂直的证明方式常见的有：（有线段长数据时）勾股证明和（有等腰三角形和中点时）三线合一性质。 证明直线与直线（异面）垂直： 可以选择证明直线a垂直于直线b所在的平面；也可以选择证明直线b垂直于直线a所在的平面，但不能不进行以上两点的尝试。 (1)若M为AB的中点，求证：平面ADP． (2)求证：平面平面． 【详解】（1）证明：设，连接， ∵底面ABCD为矩形，∴G是AC，BD的中点， ∵N为PC的中点，M为AB的中点，∴，． ∵平面，平面，平面， 平面， ∴平面，平面 ∵平面，∴平面平面． 又∵平面，∴平面． （2）证明：∵平面PAB，平面PAB，∴， ∵，∴． ∵，平面，∴平面． ∵平面．∴． ∵，为的中点，∴． ∵，平面 ∴平面． 又∵平面，∴平面平面． 3.动点问题的不变性 【例5】如图，直三棱柱中，，点分别是棱的中点，点在棱上，且，截面内的动点满足，则的最小值是（    ）动点在已知范围内运动，根据动点需要满足的已知条件，可以证明动点所在的轨迹，比如：题意告知动点在空间内，可通过动点满足某个条件证明动点的轨迹为某个平面甚至某条线。 如例5中就是要在平面AA1E1E上找到P的轨迹使得满足GB⊥PE1，即，过点E1的平面被GB垂直，且与平面AA1E1E的交线为所求轨迹。因此本题点P的轨迹是线段。 A． B． C． D．2 【详解】由题意知，，，又平面，所以平面. 设点在平面内的投影为， 则点在线段上，且， 即，所以， 设点在线段上，且， 则四边形是一个正方形，点的轨迹是其对角线. 将与展开到一个面内，得到如图图形， 因此的最小值是， 由余弦定理，得， 所以. 故选：C. 【例6】已知正方体的棱长为2，棱AB的中点为M，点N在正方体的内部及其表面运动，使得平面，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．当最大时，MN与BC所成的角为 C．正方体的每个面与点N的轨迹所在平面所成角都相等 D．若，则点N的轨迹长度为 【详解】过中点作与交，作与交，重复上述步骤， 依次作的平行线与分别交于（注意各交点均为各棱上的中点）， 最后依次连接各交点，得到如下图示的正六边形， 因为，面，面， 所以面，同理可得面， 因为，面，所以面面， 所以面中直线都平行于面，又面，且平面， 所以面，即面， 根据正方体性质，可构建如下图示的空间直角坐标系，则，，，，且，，，，，， A：由上分析知：面任意一点到面的距离，即为到面的距离， 而，，若为面的一个法向量， 所以，令，则，而， 所以到面的距离，即到面的距离为， 又△为等边三角形，则，所以三棱锥的体积为定值，正确； B：由图知：当与重合时最大为，且， 所以MN与BC所成的角，即为，错误； C：由正方体性质，只需判断各侧面的法向量，，与的夹角余弦值的绝对值是否相等即可，又，同理可得， 所以正方体的每个面与点N的轨迹所在平面所成角都相等，正确； D：若，则点N的轨迹是以为球心的球