第七讲 函数的单调性 复习讲义-2023届高三数学一轮复习

第7讲 函数单调性 一．知识精讲 知识点一：增、减函数的定义 （1）设函数的定义域为，如果对于上某个子区间内的任意两个自变量的值、，当时，都有 ，那么就说在这个区间上是 （单调递增）.区间叫做函数的 区间； （2）设函数的定义域为，如果对于上某个子区间内的任意两个自变量的值、，当时，都有 ，那么就说在这个区间上是 （单调递减）.区间叫做函数的 区间． 注意：①区间的某个子区间，亦称为这个函数的一个单调区间； ②,必须在同一区间； ③注意变量与函数值之间的大小比较； ④借助图像可直观体现一个函数的单调性及单调区间． 知识点二：如何用定义证明函数的单调性（五步） 取值→作差→变形→定号→判断 重点在于作差变形（常见方法：因式分解、有理化、配方等；目的是向有利于判断差值符号的方向变形．） 知识点三：单调性的运算性质 （1）若为增函数，则： ①为 函数； ②为 函数； ③为 函数； ④分情况讨论． （2）若为增函数，为增函数，则为 　 函数； 若为减函数，为减函数，则为 　 　　 函数； 若为增函数，为减函数，则为 　 　　 函数； 若为减函数，为增函数，则为 　　 　 函数； 若为增函数，为增函数，，则为 函数． 二．经典例题 题型一：判断基本初等函数的单调性 【例1】分析一次函数、二次函数、反比例函数的单调性． （1） ； （2）； （3）． 【变式1】画出下列函数的图象，并指出函数的单调区间． （1）； （2）． 【变式2】判断下列函数单调性，并求单调区间． （1）； （2）； （3）． 题型二：判断（证明）具体函数的单调性 【例2】（1）根据函数单调性的定义，证明函数在上是增函数． （2）证明函数在上是增函数． （3）讨论函数在上的单调性并证明． 【拓展】（1）已知函数，判断函数的单调性并利用定义证明． （2）讨论函数在区间上的单调性并利用函数单调性的定义进行证明． （3）若函数为，讨论其单调性． 【例3】已知函数，如果常数，证明：该函数在上是减函数，在上是增函数． 题型三：抽象函数单调性证明 【例4】已知函数对任意的 满足，当时，，求证：是上的增函数． 【变式1】已知函数的定义域为，，当时，．且，证明：在定义域上是增函数． 题型四：函数的应用-----求最值，解抽象不等式 【例5】已知函数对于任意，总有，且当时，，． （1）求证：在上是减函数； （2）求在上的最大值和最小值． 【变式1】已知函数的定义域为，对于任意都有，且当时，，． （1）试证明：函数是上的单调减函数； （2）试求函数在（且）上的值域． 【例6】定义在上的函数满足下面三个条件： ①对任意正数，都有；②当时，；③． （1）求和的值； （2）试用单调性定义证明：函数在上是减函数； （3）求满足的的取值范围． 【变式】已知函数是定义在上的函数，且对于任意的实数有，当时，． （1）求证：在上是增函数； （2）若，对任意的实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 题型五：利用函数单调性求参数的值（范围） 【例7】已知函数在上单调递增，求实数的取值范围． 【变式】已知函数为上的减函数，则实数的取值范围为 ． 课后作业 一．基础过关 1．设是增函数，则下列结论一定正确的是 (填序号)． ①是增函数； ②是减函数； ③是减函数； ④是增函数． 2．设都是函数的单调递增区间，且，，，则与的大小关系是 ( 　) A． B． C． D．不能确定 3．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．已知函数是定义在上的减函数，且，则的取值范围为 ． 5．已知函数，证明：函数在上为减函数． 二．延伸拓展 6．设函数对任意恒成立，则实数的取值范围为 ． 7． 已知函数满足对一切都有，且，当时有． （1）求的值； （2）判断并证明函数在上的单调性； （3）解不等式:． ( 10 ) ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 函数单调性 一．知识精讲 知识点一：增、减函数的定义 （1）设函数的定义域为，如果对