2023年九年级中考数学复习练习　几何探究-中点

几何探究-中点问题 回忆：（2020•湖北）在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．（1）如图1，在BC上找出一点M，使点M是BC的中点； （2）如图2，在BD上找出一点N，使点N是BD的一个三等分点． 探究：（2020•湘潭）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心． （1） 特例感知：如图（一），已知边长为2的等边△ABC的重心为点O，求△OBC与△ABC的面积． （2）性质探究：如图（二），已知△ABC的重心为点O，请判断、是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由． （3）性质应用：如图（三），在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M． ①若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度； ②若S△CME＝1，求正方形ABCD的面积． 回忆：如图，在▱ABCD中，点O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E，求证：AD＝CE． 牛刀小试：如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形． 探究：小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决． 请回答：（1）小红证明△BED≌△CAD的判定定理是：　 　；（2）AD的取值范围是　 　； （3）如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连结BF并延长交AC于点E，使AE＝EF，求证：BF＝AC． （4）如图3，在矩形ABCD中，，在BD上取一点F，以BF为斜边作Rt△BEF，且，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG＝CG． 例题：若△ABC和△AED均为等腰三角形，且∠BAC＝∠EAD＝90°． （1）如图（1），点B是DE的中点，判定四边形BEAC的形状，并说明理由； （2）如图（2），若点G是EC的中点，连接GB并延长至点F，使CF＝CD． 求证：①EB＝DC，②∠EBG＝∠BFC． 习题：小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，∠ACB与∠ECD恰好为对顶角，∠ABC＝∠CDE＝90°，连接BD，AB＝BD，点F是线段CE上一点． （1）当点F为线段CE的中点时，连接DF（如图（2）），小明经过探究，得到结论：BD⊥DF．你认为此结论是否成立？　 　．（填“是”或“否”） （2）将（1）中的条件与结论互换，即：BD⊥DF，则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． （3）若AB＝6，CE＝9，求AD的长． 例题：（2020•鄂州）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别为OA、OC的中点，延长BM至点E，使EM＝BM，连接DE． （1）求证：△AMB≌△CND；（2）若BD＝2AB，且AB＝5，DN＝4，求四边形DEMN的面积． 习题：（2020•徐州）我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果，那么称点B为线段AC的黄金分割点．它们的比值为． （1）在图①中，若AC＝20cm，则AB的长为　 　cm； （2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG．试说明：G是AB的黄金分割点； （3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE＞DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P．他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由． 例题：（2020•随州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与BC交于点M，与AB的另一个交点为E，过M作MN⊥AB，垂足为N． （1）求证：MN是⊙O的切线；（2）若⊙O的直径为5，sinB，求ED的长． 习题：如图，在⊙O中，点P为的中点，弦AD、PC互相垂直，垂足为M，BC分别与AD、PD相交于点E、N，连接BD、MN．（1）求证：N为BE的中点．（2）若⊙O的半径为8，的度数为90°，求线段MN的长． 变式：（2020•长沙）如图，半径为4的⊙O中，弦AB的长度为4，点C是劣弧上的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE、OD、OE． （1）求∠AOB的度数；（2）当点C沿着劣弧从点A开始，逆时针运动到点B时，求△ODE的外心P所经过的路径的长度；（3）分别记△ODE，