第一讲-分类加法原理与分步乘法原理讲义-2023届高三数学一轮复习

第一讲 分类与分步计数原理 入门测 例1.由数字0，1,2,3这四个数字，可组成多少个： （1）无重复数字的三位数？ （2）可以有重复数字的三位数？ （3）无重复数字的三位偶数？ 例2.如果，从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通.问从甲地到丙地共有多少种不同的走法？ 例3.有三项体育运动项目，每个项目均设冠军和亚军各一名奖项： （1）学生甲参加了这三个运动项目，但只获得一个奖项，学生甲获奖的不同情况有多少种？ （2）有4名学生参加这三个运动项目，若一个学生可以获得多项冠军，那么各项冠军获得者的不同情况有多少种？ 题型一：分类加法计数原理 知识清单 知识1：分类加法计数原理 （1）分类加法计数原理的概念 做一件事，完成它有类办法，做第一类办法有种不同的方法，做第二类办法有种不同的方法……做第类办法有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法. （2）分类加法计数原理的特点 分类加法计数原理又称分类计数原理或加法原理，其特点是各类中的每一种方法都可以完成要做的事情，我们可以用，，…，来表示分类加法计数原理，一共有种方法，强调每一类中的一种方法就可以完成这件事． （3）分类的原则 分类计数时，首先要根据问题的特点，确定一个适当的分类标准，然后利用这个分类标准进行分类，分类时要注意两条基本原则：一是完成这件事的任何一种方法必须分为相应的类：二是不同类的任何方法必须是不同的方法，只要满足这两条基本原则，就可以确保计数的不重不漏． ①明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算完成这件事． ②完成这件事的种方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法部可以单独完成这件事，而不需要再用到其他的方法． ③确立恰当的分类标准，准确地对这件事进行分类，要求每一种方法必定属于某一类方案，不同类方案的任意两种方法是不同的方法，也就是分类时必须做到既不重复也不遗漏． ④分类加法计数原理的集合表述形式 做一件事，完成它的办法用集合表示，被分成n类，分别用集合表示，即，且，中分别有种不同的方法，即集合中分别有个元素，那么完成这件事共有的方法，即集合中的元素的个数为． 典型例题 例1.一部记录影片在4个单位轮映，每一单位放映1场，有多少种轮映次序？ 例2.从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船.假定火车每日1班，汽车每日3班，轮船每日2班，那么一天中从甲地到乙地有多少种不同的走法？ 例3.某校高三共有三个班，各班人数如下表： 男生数 女生数 总数 高三（1）班 30 20 50 高三（2）班 30 30 60 高三（3）班 35 20 55 （1）从三个班中选1名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？ （2）从高三（1）班、高三（2）班男生中或从高三（3）班戈生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？ 方法总结： 根据已知条件确定好分类标准后，分类应满足：完成一件事的任何一种方法，必属于某一类而且仅属于某一类，即“类”与“类”之间是相互独立的，是确定的．在解题时，应首先分清楚怎样才算完成这件事，完成这件事有类方法，其中的每一种都可以独立完成这件事． 题型二：分步乘法计数原理 知识清单 知识1：分步乘法计数原理 （1）分步乘法计数原理的慨念 做一件事，完成它需要分成个步骤，做第一个步骤有种不同的方法，做第二个步骤有种不同的方法……做第个步骤有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法. （2）分步乘法计数原理的特点 分步乘法计数原理的特点是在所有的各步之中，每一步中都要使用一种方法才能完成要做的事情，可以利用图形→→…→来表示分步乘法计数原理，图中的“→”强调要依次完成各个步骤才能完成要做的事情，从而共m1×m2×…mn种不同的方法可以完成这件事． （3）分步的原则 应用分步乘法计数原理解题时要注意以下几点： ①明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事，单独用题目中所给的某种方法是不是能完成这件事，也就是说，是否必须经过几步才能完成这件事： ②完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任何一步，这件事就不可能完成： ③根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这n个步骤逐步去做，才能完成这件事，各个步骤之中既不能重复也不能遗漏． 典型例题 例1.一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中层放有3本不同的语文书，下层放有2本不同的英语书： （1）从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？ （2）从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英文书各一本，有多少种不同种的取法？ 例2.用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的： （1）