第三讲-二项式定理讲义-2023届高三数学一轮复习

第三讲 二项式定理 入门测 1. 用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数,数字1不排在个位的有多少个（ ） A.120 B.260 C.300 D.600 2.五位同学参加某作家的签字售书活动，则甲、乙都排在丙前面的方法有( ) A.20种 B. 24种 C. 40种 D. 56种 3．近日，一种牛奶被查出含有致癌物质，国家质监局调查了这种牛奶的100个相关数据，绘制成如图所示的频率分布直方图，再对落在[6,11)，[21,26]两组内的数据按分层抽样方法抽取8个数据，然后从这8个数据中抽取2个，则最后得到的2个数据分别来自两组的取法种数是( ) A．10 B．13 C．15 D．18 4.某校开设类选修课3门，类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 种（用数字作答）． .工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺丝，第一阶段，首先随意拧一个螺丝，接着拧它对角线上（距离它最远的，下同）螺丝，再随意拧第三个螺丝，第四个也拧它对角线上螺丝，第五个和第六个以此类推，但每个螺丝都不要拧死;第二阶段，将每个螺丝拧死，但不能连续拧相邻的2个螺丝。则不同的固定方式有________种． 题型一：求展开式及展开式的指定项 知识清单 知识1：二项式定理 1 二项式定理 这个公式表示的定理叫做二项式定理． ⑵二项式系数、二项式的通项 叫做的二项展开式，其中的系数叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：． （3）二项式展开式的各项幂指数 二项式的展开式项数为项，各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数． ②字母的按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零，字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到． 几点注意 1 通项是的展开式的第项，这里． 2 二项式的项和的展开式的第项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换的． ③注意二项式系数与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负． ④通项公式是这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项公式是（只须把看成代入二项式定理）这与是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是，但项的系数一个是，一个是，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念． ⑤ 设，则得公式：． ⑥通项是中含有 对于是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去五个元素， 只要知道其中四个即可求第五个元素． ⑦当不是很大，比较小时可以用展开式的前几项求的近似值． 典型例题 例1.的展开式中的系数等于（ ） A．80 B．12 C．20 D．10 例2.的展开式中，系数绝对值最大的项是（ ） A．第4项 Ｂ．第4、5项 Ｃ．第5项 Ｄ.第3、4项 例3.在的二项展开式中，的系数为（ ） A． B． C． D． 例4.在的展开式中，所有奇数项的系数之和为，则中间项系数是（ ） A．330 B．462 C．682 D．792 例5.证明在的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和. 例6.求的展开式的第4项的二项式系数和系数. 例7.求的展开式中的含的奇次项系数的和. 例8.已知展开式的各项二项式系数和等于1024，求展开式中含的项. 例9.求下列各指定项的二项式系数和系数： （1）的展开式的第6项； （2）的展开式中含的项. 例10. （1）求的展开式中的第4项； （2）求的展开式中第8项； （3）求的展开式中含项的系数； （4）求的展开式的常数项. 例11.求展开式中含的项，并说明它是展开式的第几项？ 例12.填空：展开式的第4项是_______；第4项的二项式系数是_________；第4项的系数是_______. 例13.求展开式中含项的系数. 例14.求展开式中含的项. 例15.求展开式中的常数项. 例16.求的展开式 例17．求的展开式 例18．在二项式的展开式中，第四项的系数是. 例19．如果展开式中，第四项与第六项的系数相等，则=_________，展开式中的常数项的值等于. 例20．的二项展开式中，的系数与的系数之差为 例21.的展开式中，的系数等于 例22.的展开式中常数项为 (用数字作答) 例23.的展开式中的系数是（ ） A． B． C．2 D．4 例24.在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项． 题型二：求最大项 知识清单 知识1：二项式系数的性质 ⑴杨辉三角形：套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算． 杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质： 展开式的二项式系数是：，从函数的角度看可