第二讲-排列组合专题讲义-2023届高三数学一轮复习

第二讲 排列与组合 入门测 1.分类计数原理定义： 2.分步计数原理定义： 3. 用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数,数字1不排在个位的有多少个（ ） A.120 B.260 C.300 D.600 题型一：排列问题 知识清单 知识1：排列 （1）排列的定义 一般地，从个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取个元素的一个排列． 知识拓展 ①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素：二是按照一定的顺序排列． ②只有元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同时，两个排列才是同一个排列． ③定义中规定了如果，称为选排列；如果称为全排列． ④定义中“一定的顺序”，就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断，这一点要特别注意． ⑤可以根据排列的定义来判断一个问题是不是排列问题，只有符合排列定义的说法，才是排列问题． （2）排列的判断 判断一个问题是否为排列问题的依据：是否与顺序有关，与顺序有关且是从个不同的元素中任取（）个元素的问题就是排列问题，否则就不是排列问题．而检验一个问题是否与顺序有关的依据就是变换不同元素的位置，看其结果是否有变化，若有变化就与顺序有关，就是排列问题；若没有变化，就与顺序无关，就不是排列问题． 知识2 排列数 （1）排列数定义 从个不同元素中取个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示． 注意问题：排列与排列数是两个不同的概念，一个排列是指从个不同元素中任取个元素，按照一定的顺序排成一列，它不是一个数，而是具体的一件事．而排列数是指从个不同的元素中取出，个元素的所有排列的个数，它是一个数． （2）排列数公式 温馨提示 ①排列数公式推导的思路：第1步，排第1个位置的元素有n种排法；第2步，排第2个位置的元素有种排法；第3步，排第3个位置的元素有n-2种排法；…；第m步，排第m个位置的元素有种排法．因此，由分步乘法计数原理知共有种不同的排法． ②在实际应用中，一般用求具体的排列数，而用进行化简或解决有关证明、解方程、解不等式等问题． ③记准公式的形式，并且注意且这个条件． 知识3:全排列和阶乘 （1）全排列 个不同元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列，这时公式中，即有 ． （2）阶乘 正整数1到的连乘积，叫做的阶乘，用表示．全排列数公式，规定0!=1． 典型例题 例1.某年全国足球中超联赛共有12个队参加，每队都要与其他队在主客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？ 例2.（1）有3名大学生毕业生，到5个招聘雇员的公司应聘，若每个公司至多招聘一名新雇员，且3名大学毕业生全部被雇用，若不允许兼职，共有多少种不同的招聘方案？ （2）有5名大学毕业生，到3个招聘雇员的公司应聘，每个公司只招聘一名新雇员，并且不允许兼职，现假定这3个公司都完成； 招聘工作，问共有多少种不同的招聘方案？ 例3.用0到9这十个数字可以组成多少个没有重复数字的： （1）三位数？ （2）四位偶数？ 例4.从4种不同的蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有多少种不同的种植方法？ 例5.从参加乒乓球团体赛的5名运动员中选出3名参加某场比赛，每名运动员比赛一局，有多少不同的方法排定他们的出场顺序？ 例6.由1,2,3,4,5,6这六个数字可组成多少个： （1）三位数？ （2）没有重复数字的三位数？ （3）没有重复数字的末位数是5的三位数？ 例7.计算下列各排列数 （1）从中取出4个元素的排列中，不在首位的所有排列； （2）从中取出4个元素的排列中，不在首位且不在末位的所有排列. 例8.用0，1，2,3,4,5可组成多少个： （1）没有重复数字的四位数？ （2）没有重复数字的能被5整除的四位数？ （3）比2000大且没有重复数字的自然数？ 例9.（1）将2封信投入4个邮箱，每个邮箱最多投一封，有多少种不同的投法？ （2）将2封信随意投入4个邮箱，有多少种不同的投法？ 例10．将2个男生和4个女生排成一排： （1）男生排在中间的排法有多少种？ （2）男生不在头尾的排法有多少种？ （3）男生不相邻的排法有多少种？ （4）男生不相邻且不在头尾的排法有多少种？ （5）2个男生都不与女生甲相邻的排法有多少种？ 例11.四对夫妇坐成一排照相： （1）每对夫妇都不能隔开的排法有多少种？ （2）每对夫妇都不能隔开，且同性别的人不能相邻的排法有多少种？ 方法总结： （1）一般问题的应用 求解排列问题时，正确理解题意是最关键的一步，要善于把题目中的文字语言翻译成排列的相关术语；正确运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理也是十分重要的；还要注意分类时不重不漏，分步时只有依次做完各个步骤，事情才算