2023年中考数学专题复习：07几何最值问题解题策略

中考数学专题复习 第七讲几何最值问题解题策略 【考题分析】 最值问题有代数最值问题和几何最值问题,主要在中考压轴题中出现。最值问题出现比较高的主要有利用重要的几何结论(如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等)以及用一次函数和二次函数的性质来求最值问题。 【知识归纳】 1.解决在求几何图形中的周长或线段长度最值时的方法：a.先将要求线段(要求的量)用未知数x表示出来,建立函数模型（常用勾股定理或三角形相似求得函数关系式）；b.再用函数的增减性或最值来求解即可。 2.解决利用对称的性质求两条线段之和最小值的问题的方法:如图,要求直线l上一动点P到点A,B距离之和的最小值,先作点A关于直线l的对称点A',连接A'B,则A'B与直线l的交点即为P点,根据对称性可知此时A'B的长即为PA+PB的最小值,求出A'B的值即可。 【题型解析】 题型1: 三角形中最值问题 例题：（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（　　） A．4 B．6 C．2 D．3 【分析】在网格中，以MN为直角边构造一个等腰直角三角形，使PM最长，利用勾股定理求出即可． 【解答】解：如图所示：△MNP为等腰直角三角形，∠MPN＝45°，此时PM最长， 根据勾股定理得：PM＝＝＝2． 故选：C． 【方法指导】此题考查了相似三角形的判定，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 题型2: 四边形中最值问题 例题: （2022•内江）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 　10　． 【分析】延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，则四边形EFGC是平行四边形，得CE＝FG，则AF+CE＝AF+FG，可知当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，利用勾股定理求出AG的长即可． 【解答】解：延长BC到G，使CG＝EF，连接FG， ∵EF∥CG，EF＝CG， ∴四边形EFGC是平行四边形， ∴CE＝FG， ∴AF+CE＝AF+FG， ∴当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG， 由勾股定理得，AG＝＝＝10， ∴AF+CE的最小值为10， 故答案为：10． 【方法指导】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线将AF+CE的最小值转化为AG的长是解题的关键． 题型3:圆中最值问题 例题：（2022•泸州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2，半径为1的⊙O在Rt△ABC内平移（⊙O可以与该三角形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 　2+1　． 【分析】连接OE、OF，根据正切的定义求出∠ABC，根据切线长定理得到∠OBF＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质、勾股定理计算，得到答案． 【解答】解：当⊙O与BC、BA都相切时，连接AO并延长交⊙O于点D，则AD为点A到⊙O上的点的距离的最大值， 设⊙O与BC、BA的切点分别为E、F，连接OE、OF， 则OE⊥BC，OF⊥AB， ∵AC＝6，BC＝2， ∴tan∠ABC＝＝，AB＝＝4， ∴∠ABC＝60°， ∴∠OBF＝30°， ∴BF＝＝， ∴AF＝AB﹣BF＝3， ∴OA＝＝2， ∴AD＝2+1， 故答案为：2+1． 【方法指导】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、切线长定理，根据题意得出AD为点A到⊙O上的点的距离的最大值是解题的关键．此题综合性强,解题方法很多,考查范围较广,与初中数学很多内容有关,如勾股定理、圆周角定理及推论、垂径定理、相似、三角函数、二次函数、垂线段的性质、二次根式的计算与化简等.考查了多种数学思想,如建模思想、化归思想等.此题难度中等,有一定的灵活性,考生不易拿满分. 【提升训练】 1. （2022•重庆）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，D为BC的中点，E，F分别为AC，AD上任意一点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到线段EG，连接FG，AG． （1）如图1，点E与点C重合，且GF的延长线过点B，若点P为FG的中点，连接PD，求PD的长； （2）如图2，EF的延长线交AB于点M，点N在AC上，∠AGN＝∠AEG且GN＝MF，求证：AM+AF＝AE； （3）如图3，F为线段AD上一动点，E为AC的中点，连接BE，H为直线BC上一动点，连接EH，将△BEH沿EH翻折至△ABC所在平面内，得到△B′EH，连接B′G，直接写出