2023年中考数学专题复习：06数学思想方法

中考数学专题复习 第六讲数学思想方法 【专题分析】 数学思想方法是数学知识的灵魂；是数学知识、数学技能的本质体现；是解决数学问题的金钥匙。运用数学思想方法,是学习数学的基本要求；是能够使数学能力不断提高,从而取得好成绩的工具。数学思想方法有:整体思想、转化思想、方程思想、数形结合思想、分类思想等。考生系统地总结以上数学思想与方法,掌握它的本质,就可以把所学的知识融会贯通,解题时可以得心应手。 【知识归纳】 1.整体思想:从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理。整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。 2.分类思想:根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。分类以比较为基础，比较是分类的前提，分类是比较的结果。在运用分类的思想进行解题时，其思维过程通常可以分为：第一，要明确是否需要分类讨论；第二，确定分类的对象；第三，确定分类的标准；第四，逐类逐级分类讨论；第五，综合、归纳结论. 3.化归思想方法：就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。总之，化归在数学解题中几乎无处不在，化归的基本功能是：生疏化成熟悉，复杂化成简单，抽象化成直观，含糊化成明朗。实现这种转化的方法有：待定系数法，配方法，整体代入法以及化动为静，由抽象到具体等转化思想。 4.数形结合思想:简而言之就是把数学中“数”和数学中“形”结合起来解决数学问题的一种数学思想。数形结合具体地说就是将抽象数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，通过“数”与“形”之间的对应和转换来解决数学问题。在中学数学的解题中，主要有三种类型：以“数”化“形”、以“形”变“数”和“数”“形”结合。 5.方程思想:用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组).这种思想在代数、几何及实际生活中有着广泛的应用. 6.构造思想:用运动和变化的观点,集合与对应的思想,去分析和研究数学问题中的数量关系,构造函数或几何图形,运用函数性质或图形性质分析问题、转化问题,从而使问题得到解决.运用构造思想要善于抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质. 【题型解析】 题型1: 整体思想 例题：（2022•邵阳）已知x2﹣3x+1＝0，则3x2﹣9x+5＝　2　． 【分析】原式前两项提取3变形后，把已知等式变形代入计算即可求出值． 【解答】解：∵x2﹣3x+1＝0， ∴x2﹣3x＝﹣1， 则原式＝3（x2﹣3x）+5 ＝﹣3+5 ＝2． 故答案为：2． 【方法指导】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键。整体思想是指把研究对象的某一部分(或全部)看成一个整体,通过观察与分析,找出整体与局部的联系,从而在客观上寻求解决问题的新途径.求代数式的值,一般是在知道字母取值的条件下进行的,但有些代数式,字母的值不知道或不易求出时,灵活变形,采用整体代入的方法,往往使问题简便获解。 题型2: 分类思想 例题：（2022•邵阳）如图，已知直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，0）在抛物线上． （1）求该抛物线的表达式． （2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标． （3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD'，连接CD'，求线段CD'长度的最小值． 【分析】（1）先分别求得点A，点B的坐标，从而利用待定系数法求函数解析式； （2）分△AOB≌△DPC和△AOB≌△CPD两种情况，结合全等三角形的性质分析求解； （3）根据点D′的运动轨迹，求得当点P，D′，C三点共线时求得CD′的最小值． 【解答】解：在直线y＝2x+2中， 当x＝2时，y＝2， 当y＝0时，x＝﹣1， ∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，2）， 把点A（﹣1，0），点B（0，2），点C（3，0）代入y＝ax2+bx+c， ， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2； （2）①当△AOB≌△DPC时，AO＝DP， 又∵四边形OPDE为正方