2023年中考数学专题复习：04创新思维问题研究

中考数学专题复习 第四讲创新思维问题研究 【考点分析】 创新意识的激发,创新思维的训练,创新能力的培养,是发展数学核心素养的重要课题。自新课改以来,创新类试题就常有呈现,其形式多样,如新定义试题,如情境创新题,如操作创新题,如信息迁移类创新题,如题型创新,如规律探究创新题,如最优方案设计创新题,如“老树新花”型创新。 【知识归纳】 新定义题,即定义一些考生从未接触过的新概念、新公式、新运算、新法则。它以立意新、容量大、具有相当浓度和明确导向等特点,体现了新课改精神,是创新题中的新宠。新定义题包含:规律中的新定义,运算中的新定义,探究中的新定义,开放中的新定义,阅读理解中的新定义。它通常和其他知识综合在一起考查,要求考生解题时能够运用已掌握的知识和方法理解“新定义”,做到“化生为熟”,现学现用。 不管是哪种形式的创新题,要想解决这类问题,考生就要在平时学习中注重过程性学习,注重养成自主探究的学习习惯,注重积累数学活动经验,注重发展应用新知识解决问题的能力。 【题型解析】 题型1:新定义题 例题：（2022•重庆）对多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，…， 给出下列说法： ①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等； ②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0； ③所有的“加算操作”共有8种不同的结果． 以上说法中正确的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据括号前是“+”，添括号后，各项的符号都不改变判断①；根据相反数判断②；通过例举判断③． 【解答】解：①如（x﹣y）﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，（x﹣y﹣z）﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，故①符合题意； ②x﹣y﹣z﹣m﹣n的相反数为﹣x+y+z+m+n，不论怎么加括号都得不到这个代数式，故②符合题意； ③第1种：结果与原多项式相等； 第2种：x﹣（y﹣z）﹣m﹣n＝x﹣y+z﹣m﹣n； 第3种：x﹣（y﹣z）﹣（m﹣n）＝x﹣y+z﹣m+n； 第4种：x﹣（y﹣z﹣m）﹣n＝x﹣y+z+m﹣n； 第5种：x﹣（y﹣z﹣m﹣n）＝x﹣y+z+m+n； 第6种：x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n； 第7种：x﹣y﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n； 第8种：x﹣y﹣z﹣（m﹣n）＝x﹣y﹣z﹣m+n；故③符合题意； 正确的个数为3， 故选：D． 【方法指导：】本题考查了整式的加减，解题的关键是注意可以添加1个括号，也可以添加2个括号． “新定义型专题”关键要把握两点 : (1)掌握问题原型的特点及问题解决的思想方法; (2)根据问题情景的变化,通过认真思考,合理进行思想方法的迁移. 题型2: 操作创新题 例题: （2022•宁波）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，分别按要求画出图形． （1）在图1中画出等腰三角形ABC，且点C在格点上．（画出一个即可） （2）在图2中画出以AB为边的菱形ABDE，且点D，E均在格点上． 【分析】（1）结合等腰三角形的性质，找出点C的位置，再连线即可． （2）结合菱形的性质，找出点D，E的位置，再连线即可． 【解答】解：（1）答案不唯一． （2） 【方法指导】本题考查作图﹣复杂作图，熟练掌握等腰三角形和菱形的性质是解题的关键． 题型3: “老树新花”型 例题：（2022•宜宾）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为 　289　． 【分析】如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，则四边形EODC为正方形，然后利用内切圆和直角三角形的性质得到AC+BC＝AB+6，（BC﹣AC）2＝49，接着利用完全平方公式进行代数变形，最后解关于AB的一元二次方程解决问题． 【解答】解：如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD， 则四边形EODC为正方形， ∴OE＝OD＝3＝， ∴AC+BC﹣AB＝6， ∴AC+BC＝AB+6， ∴（AC+BC）2＝（AB+6）2， ∴BC2+AC2+2BC×AC＝AB2+12AB+36， 而BC2+AC2＝AB2， ∴2BC×AC＝12AB+36①， ∵小正方形的面积为49， ∴（BC﹣AC）2＝49， ∴BC2+AC2﹣2BC×AC＝49②， 把①代人②中得 AB2﹣12AB﹣85＝0， ∴（AB﹣17）（AB+5）＝0， ∴AB＝17（负值舍去）， ∴大正方形的面积为 289． 故答案为：289． 【方法指导】本题