2023年中考数学专题复习：02函数应用

中考数学专题复习 第二讲函数应用 【考点分析】 函数的应用是中考每年热点题型，把数学问题转化在生活背景中是近年来经常出现的命题方式,无不体现数学在实际生活中的应用。此类题型来源于生活和生产实践,贴近生活,所以具有较多的操作性和实践性,思维有些难度,解答方法灵活多样,解决问题时要认真思考。 【知识归纳】 函数的应用题的解答：首先，由实际问题抽象出数学问题；其次，应注意对转化、数形结合、方程、待定系数法等思想方法的灵活运用，从而使实际问题得到解决。题型主要包括:根据实际意义建模;利用方程(组)、不等式(组)、函数等知识对实际问题中的方案进行比较等。 解答纯函数型情境应用题：首先针对背景材料,设定合适的未知数,其次找出相等关系,最后建立方程(组)、不等式、函数型模型来解决. 解答几何背景下的函数情境应用题：首先在理解题意的基础上,对问题进行恰当的抽象与概括,然后建立恰当的几何模型,从而确定某种几何关系,最后利用相关几何知识来解决。 解答几何求值问题,当未知量不能直接求出时,首先需设出未知数,然后建立方程(组),最后用解方程(组)的方法去求结果,这是解题中常见的具有导向作用的一种思想。 解答几何图形与函数图象结合的综合题型：首先利用几何图形的有关性质确定点的坐标,然后联想到点的坐标和线段长之间的转化关系,可考虑作垂直于坐标轴的线段,构建直角三角形,利用勾股定理、相似、三角函数等相关知识求出点的坐标,利用待定系数法求出函数解析式,最后结合图象进一步解决几何图形的其他问题。 【题型解析】 题型1: 一次函数与反比例函数的综合应用 例题:（2022•重庆）反比例函数y＝的图象如图所示，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y＝的图象交于A（m，4），B（﹣2，n）两点． （1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2）观察图象，直接写出不等式kx+b＜的解集； （3）一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点C，连接OA，求△OAC的面积． 【分析】（1）将A，B两坐标先代入反比例函数求出m，n，然后由待定系数法求函数解析式． （2）根据直线在曲线下方时x的取值范围求解． （3）由直线解析式求得C点的坐标，然后根据三角形面积公式即可求解． 【解答】解：（1）∵（m，4），（﹣2，n）在反比例函数y＝的图象上， ∴4m＝﹣2n＝4， 解得m＝1，n＝﹣2， ∴A（1，4），B（﹣2，﹣2）， 把（1，4），（﹣2，﹣2）代入y＝kx+b中得， 解得， ∴一次函数解析式为y＝2x+2． 画出函数y＝2x+2图象如图； （2）由图象可得当0＜x＜1或x＜﹣2时，直线y＝﹣2x+6在反比例函数y＝图象下方， ∴kx+b＜的解集为x＜﹣2或0＜x＜1． （3）把y＝0代入y＝2x+2得0＝2x+2， 解得x＝﹣1， ∴点C坐标为（﹣1，0）， ∴S△AOC＝＝2． 【方法指导】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系。 题型2: 二次函数图象的实际应用(抛物线型) 例题：（2022•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AB于点M，求PM+AM的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，点P′与点P关于抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴对称．将抛物线y＝﹣x2+bx+c向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点C在新抛物线上，点D在l上，直接写出所有使得以点A、P′、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来． 【分析】（1）将点A、B坐标分别代入抛物线解析式，解方程即可； （2）利用△AQM∽△AOB，得MQ：AQ：AM＝3：4：5，则PM+，设P（m，﹣），M（m，﹣），Q（m，0），用含m的代数式表示出PM+2MQ，利用二次函数的性质可得答案； （3）根据原来抛物线和新抛物线的对称轴知，抛物线向右平移个单位，则平移后抛物线解析式为y'＝﹣，设D（4，t），C（c，﹣），分AP'与DC为对角线或P'D与AC为对角线或AD与P'C为对角线，分别利用中点坐标公式可得方程，从而解决问题． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3）． ∴， ∴． ∴抛物线的函数表达式为y＝﹣； （2）∵A（4，0），B（0，3）， ∴OA＝4，OB＝3， 由勾股定理得，AB＝5， ∵PQ⊥OA， ∴PQ∥OB， ∴△AQM∽△AOB， ∴MQ：AQ：AM＝3：4：5， ∴AM＝，， ∴PM+， ∵B（0，3），A（4，