第六讲 函数的表示及值域 复习讲义-2023届高三数学一轮复习

第6讲 函数的值域及表示 一、知识要点 知识点一：值域的概念 所有有意义的自变量对应的函数值组成的集合 知识点二：求值域的方法 （1）观察法（或直接法）：根据最基本函数值域（如，）及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到一些简单的复合函数的值域. （2）图像法（或数形结合法）：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型. （3）配方法：对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义域求出函数的值域. （4）换元法：对于形如的值域，可通过换元将原函数转化为二次型函数. （5）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化而便于分析. （6）判别式法：把函数解析式化为关于的一元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域.一般地，形如或的函数值域问题可运用判别式法。 （7）平方法：一般用于含两个根式的函数 注意：①求值域一定要遵循定义域优先的原则 ②值域的结果必须写成区间或集合的形式 知识点三: 函数的表示方法 1．表示函数的常用方法有解析法、列表法、图象法． ①解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式． ②列表法：就是列出表格来表示两个变量的对应关系． ③图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． 2．求解析式的方法： 拼凑法、换元法、待定系数法、方程组法、赋值法 ． 2、 经典例题 题型一：值域 1. 直接法（观察法） 【例1】已知函数，则函数值域是（　　） A． B． C． D． 【解答】解： 已知函数，则函数值域是．故选C． 【变式】下列函数中值域是的是（　　） A．. B． C． D． 【解答】解：A、函数y=2x+1在（0，+∞）上是增函数，∴函数的值域为（1，+∞），故错； B、函数y=x2≥0，函数的值域为[0，+∞），故错； C、函数的值域为{y|y≠0}，故错； D、函数的定义域为（1，+∞），根据复合函数的单调性知：函数在（1，+∞）上单调递减，故函数的值域为（0，+∞）故选D． 2. 配方法 【例2】函数的值域是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：y==； ∵； ∴； ∴原函数的值域为．故选：B． 【变式】已知函数的定义域为，函数的值域为，全集为，，则实数的取值范围是　 　． 【解答】解：由题可知： ，得 则 且由 即，故答案为：． 3. 换元法 【例3】函数的值域为（　　） A． B． C． D． 【解答】解；设，则， ，， ∵轴，可判断在上单调递减， ∴当 时， ，故选：B 【变式1】求函数的最大值． 【解答】解：设，则 ∴f（t）==，（t≥0）， ∴f（t）max=． 【变式2】求函数的值域． 【解答】解：设t=x2，∵y=x4+4x2+1 ∴y=t2+4t+1，t＞0 可知函数y=t2+4t+1，在区间（0，+∞）为增函数 当t=0时，y=1,即y=t2+4t+1，t＞0的值域为（1，+∞） 所以函数y=x4+4x2+1的值域为（1，+∞） 4.分离常数法 【例4】求函数的值域． 【解答】解：=， ∵（x﹣1）2+2≥2 ∴，∴， 所以函数的值域为． 【变式1】函数的值域是 （　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵y===1﹣，画出函数y=1﹣的图象，如图示： ， ∵x≠3，∴y≠﹣， ∴函数的值域是（﹣∞，﹣）∪（﹣，1）∪（1，+∞）， 故选：D． 5.判别式法 【例5】 求函数的值域. 解：，所以函数的定义域为，原函数可以化为，整理得： 当时，上式可以看成关于的二次方程，该方程的 范围应该满足即此时方程有实数根即，. 当时，方程化为，显然不能成立，所以当. 将分别代入检验得不符合方程，所以. 题型二：解析式 1、拼凑法 【例 6】已知，求的解析式. 【变式】 若，，则=（　　） 【解答】解：=．故选：A． 2、换元法 【例7】已知，则的解析式可取（　　） A． B． C． D． 【解答】解：令，则 ∵，∴ ∴故选A 【变式】如果，则当且时，=（　　） A． B． C． D． 【解答】解：令，则 ∵∴， 化简得：