第二讲-等比数列专题讲义-2023届高三数学一轮复习

第二讲 等比数列 【课前诊断】 1.已知是等比数列，,,则公比为（ ） A. B.-2 C.2 D. 2．在等比数列{}中，若—8，则等于 （A）— （B）— （C） （D） 3.等比数列中,,,的前项和为 （A） （B） （C） （D） 4.各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则的值为________，的值为________． 【教学目标】 1. 充分理解等比数列的概念和特征； 2. 掌握等比数列通项公式，等比中项及前项和的求解方法； 3. 能灵活运用等比数列的通项公式及前项和公式求解一般数列问题。 【知识框架】 【知识要点】 1 等比数列的定义： 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：. 要点诠释： ①由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此不能是0； ②“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数”,这里的项具有任意性和有序性,常数是同一个; ③隐含条件：任一项且;“”是数列成等比数列的必要不充分条件; ④常数列都是等差数列，但不一定是等比数列.不为0的常数列是公比为1的等比数列； 2.等比数列的通项公式 首项为，公比为的等比数列的通项公式为： 3.等比中项 如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项.其中. 要点诠释： ①只有当与同号即时，与才有等比中项，且与有两个互为相反数的等比中项. 当与异号或有一个为零即时，与没有等比中项. ②任意两个实数与都有等差中项，且当与确定时，等差中项唯一. 但任意两个实数与不一定有等比中项，且当与有等比中项时，等比中项不唯一. ③当时，、、成等比数列. ④是、、成等比数列的必要不充分条件。 4.等比数列的判定 (1)定义法： (2)等比中项法： 5.等比数列的性质 （1）若，且,则， 特别地，当时. （2）下标成等差数列且公差为的项,,,…组成的新数列仍为等比数列， 公比为. （3）若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、(,是常数)、、也是等比数列； （4）连续项和（不为零）仍是等比数列.即,,，…成等比数列，该等比数列的公比为. （5）等比数列单调性问题： · 当且时，等比数列是递增数列； · 当且时，等比数列是递减数列； · 当且时，等比数列是递减数列； · 当且时，等比数列是递增数列。 当时，等比数列是摆动数列。 6.等比数列的前项和公式 · 【考点分类】 考点一：等比数列通项公式的应用 【例1】在等比数列中，若，，则的值为 （ ） A． B． C． D． 【例2】等比数列中，, ,求. 【例3】已知数列满足，则等于 A． B． C． D． 【例4】若数列满足，则 （A）数列不是等比数列 （B）数列是公比为的等比数列 （C）数列是公比为2的等比数列 （D）数列是公比为的等比数列 【练1】已知数列是公比为2的等比数列，且满足，则的值为( ) A．2 B．4 C．8 D．16 【练2】若数列满足：，，则______ . 【练3】已知等比数列的公比为，若，则 【练4】已知等比数列中,,那么的值为 ． 【练5】在等比数列中，，且，则的值为___. 考点二：等比中项问题 【例1】等比数列中，，，则与的等比中项是(　　) A．±4 B．4 C．± D． 【例2】已知数列是公比为的等比数列，，则的值为 或 或 【例3】若x,2x＋2,3x＋3是一个等比数列的连续三项，则x的值为__________． 【练1】如果成等比数列，那么 A． B． C． D． 【练2】设等差数列的公差不为0，.若是与的等比中项，则等于(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 【练3】在等比数列中，，公比.若，则( ) A．9 B．10 C．11 D．12 　 考点三：等比数列性质问题 【例1】已知等比数列中，则公比（ ） 【例2】等比数列中，若,求. 【例3】已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是(　　) 【例4】在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_____. 【例5】已知等比数列的公比，则下面说法中不正确的是( ) A.是等比数列 B．对于，， C．对于，都有 D．若，则对于任意，都有 【练1】已知等比数列中，，，则等于（ ） 【练2】等比数列的各项均为正数,且,则 【练3】若等比数列满足，则公比为 【练4】在等比数列中,,则 （A） （B）