第一讲-2.1直线的倾斜角与斜率讲义-2023届高三数学一轮复习

目录 第一讲 直线的倾斜角与斜率 2 入门测 2 题型一：倾斜角与斜率 3 知识清单 3 典型例题 5 方法总结： 9 题型二：两条直线平行与垂直的判定 10 知识清单 10 典型例题 11 方法总结： 14 出门测 15 课后练习 17 第一讲 直线的倾斜角与斜率 入门测 1.下列说法中，正确的是( ) A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α B．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α C．若直线的倾斜角为α，则sin α＞0 D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α 2.若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为( ) A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120° 3．设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为( ) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α－135° 题型一：倾斜角与斜率 知识清单 知识1：直线的倾斜角 1.定义：当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线的倾斜角．一条直线与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为. 2.倾斜角取值范围：直线的倾斜角的取值范围是. 3．倾斜角与直线形状的关系 倾斜角 直线 【理解】 (1)倾斜角定义中含有三个条件： ①轴正向；②直线向上的方向；③小于的非负角． (2)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角． (3)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对轴的倾斜程度． (4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等. 知识2：直线的斜率 1．斜率的定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母表示，即. 2．斜率公式：经过两点，的直线的斜率公式为.当时，直线没有斜率． 3．斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度． 【理解】 1．倾斜角与斜率的关系 (1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于轴(平行于轴或与轴重合)． (2)直线的斜率也反映了直线相对于轴的正方向的倾斜程度． 当时，斜率越大，直线的倾斜程度越大； 当时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大． 2．斜率公式 (1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说，如果分子是，分母必须是；反过来，如果分子是，分母必须是，即. (2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论． 典型例题 1.下列说法中，正确的是( ) A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α B．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α C．若直线的倾斜角为α，则sin α＞0 D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α 2.若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为( ) A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120° 3．设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为( ) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α－135° 4.(1)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝________； (2)过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为________； (3)已知过A(3,1)，B(m，－2)的直线的斜率为1，则m的值为________． 5．若直线过点 (1,2)，(4，2＋)，则此直线的倾斜角是( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 6.如图所示，已知，求直线的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角. 7.过两点的直线的倾斜角为，求的值. 8.（1）已知直线的倾斜角是，且，求直线的斜率的范围. （2）已知直线的斜率为，且，求直线的倾斜角的范围. 9.直线(1－a2)x＋y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A. B. C.∪ D.∪ 10.已知两点A(－3,4)，